Minicurso Etnomatemática como Ação Pedagógica

Daniel C. Orey e Milton Rosa

 

II Congresso Brasiliero de Etnomatemática

Natal, RN Brasil

4-7 abril 2004

 

 

Introdução

Existem processos que estão relacionados com o fato do ser humano viver em sociedades, em grupos e em culturas.  Com relação ao processo cultural, podemos pensar na questão dos “problemas motivadores” no ensino da matemática e em suas aplicações no aspecto sociológico.  Cada sociedade gera e busca satisfazer suas próprias necessidades intelectuais e suas necessidades materiais.  Estes dois aspectos, o material e o intelectual, não podem ser separados, se não quisermos deixar de entender o sentido do conhecimento matemático produzido por uma sociedade.  A sociedade atual tem certas necessidades tecnológicas que ela mesma gerou.  Para atender estas necessidades, diversas ciências intervêm buscando resolver os desafios que surgem.  Para construir os altos edifícios presentes em nosso meio- urbano, não basta somente a “habilidade” e a “experiência”.  Estes dois fatores podem bastar para construir casas até um certo tamanho, mas não para construir arranha-céus.  Na construção de arranha-céus, a matemática intervém, fornecendo os instrumentos teóricos para que se determine a estrutura do arranha-céu e como ele deve ser construído.  Este é um exemplo real da aplicação da matemática.

Não devemos nos esquecer de que os arranha-céus são uma necessidade que a sociedade moderna gerou, na medida em que gradualmente passa a considerar que milhares e até mesmo milhões de pessoas vivam em áreas reduzidas como as de uma cidade.  Esta noção, a de viver em enormes grupos, é totalmente estranha para diversas culturas, entre elas a dos índios e nativos originais das terras do continente americano.

Apesar de sermos 6 bilhões de pessoas sobre o planeta Terra atualmente, ainda há espaço suficiente para vivermos em grupos menores.  Porém, muitas pessoas pensam que não conseguem viver numa cidade de pequeno porte, porque as opções de lazer e de trabalho não são tão significativas como nas grandes cidades.  Assim, podemos concluir que a questão não é a falta de espaço, mas sim, o que a nossa cultura valoriza e exige de todos os cidadãos.  Dessa maneira, todas as culturas valorizam-se de ferramentas matemáticas para resolver problemas.  Se os professores e alunos não tomarem consciênca e valorizarem os processos da Etnomatemática e da Modelagem Matemática, torna-se complicado convencê-los que a utilidade da matemática para resolver certo tipo de problema deveria motivá-los para o ensino-aprendizagem em Matemática.  Se o professor não considerar importante, não vai se preocupar em ensinar e se o aluno não considerar importante, não vai se preocupar em aprender.  Talvez, o professor ensine porque está no currículo e talvez, o aluno aprende para fazer a avaliação e depois esquecer.  Dessa forma, podemos afirmar que o conhecimento que não se encaixa com uma determinada cultura tende a extinguir-se, porque ele torna-se frágil em sua aplicação.  Neste contexto, a educação matemática assume uma dimensão importante, pois o método de educar matematicamente, passa a ser um processo de interação entre culturas, entre modos de pensar e de organizar o mundo.

Para que o aluno valorize os problemas motivadores, ou os problemas de aplicação retirados de sua realidade, como formas de aprender e valorizar a Matemática, é preciso que ele mergulhe em sua cultura, onde estes fatores são valorizados.  Porém, para que isto ocorra, é necessário que as escolas respeitem as concepções a respeito de mundo que os nossos alunos possuem.  Assim, nossos alunos compreenderão que a matemática existe dentro de uma cultura e por meio dela nós agimos sobre a nossa realidade, com o intuito de transformá-la ou preservá-la.  Porém, existem outras realidades, outras culturas e outras matemáticas.  Existe a matemática do carpinteiro, do médico, do pedreiro, do engenheiro; assim como existe a matemática da criança que vende bala na rua, que constrói o seu cata-vento e que joga vídeo-games.  Em nossa sociedade globalizada, estas culturas estão se integrando e se interagindo dinamicamente.  Nessa dinâmica cultural, todo o conhecimento é produzido.  O conhecimento matemático também se produz neste contexto cultural, pois é parte deste processo de ação sobre essa realidade intelectual e material.

Quando Machado (1994) aborda a relação entre a matemática e a língua materna, ele está apontando para o fato de que o ser humano vive imerso numa cultura que tem vários aspectos de interação, pois observa-se que os elementos constituintes dos dois principais sistemas de representação da realidade, o alfabeto e os números, são apreendidos conjuntamente pelas pessoas em geral, mesmo antes de chegarem às escolas, sem distinções rígidas de fronteiras entre estas duas disciplinas.

Quando Kamii (1985) relata a importância de Pedro ajudar a arrumar a mesa de jantar, ela não está apenas comentando sobre a oportunidade que ele tem de “desenvolver o seu raciocínio”, pois está também analisando o fato de que Pedro está aprendendo que o processo de fazer corresponder talheres “um para um” tem um lugar na cultura que ele vive, e isto dá legitimidade ao seu esforço de pensar  e refletir sobre a ação que ele está realizando.

Quando D’Ambrosio (1988) discursa sobre um ciclo de interação passando por pensamento e realidade, ele está se expressando sobre a dialética entre pensar e agir.  A idéia de ciclo sugere um processo que se repete e se transforma: uma cultura requer conhecimentos matemáticos, e os conhecimentos matemáticos transformam essa cultura.  Podemos dar como exemplo as calculadoras.  As máquinas de calcular somente são possíveis porque a matemática permite projetá-las, mas, ao mesmo tempo, elas mudam a nossa maneira de ver essa matemática, pois torna menos importante que se saiba fazer um cálculo sem erros do que o conceito etnomatemático produzido por esta atividade.

Neste contexto, a proposta de se trabalhar com atividades que tenham relação com o cotidiano dos alunos, buscam exatamente o ponto de intersecção entre todas as atividades que fazemos diariamente, e uma maneira particular de se trabalhar com elas: utilizando a matemática através do Programa Etnomatemática e da metodologia Modelagem Matemática.

A Etnomatemática como um Programa

As idéias da utilização da etnomatemática vêm sendo desenvolvida há muito tempo, em vários países e por vários educadores.  Porém, a teorização do Programa Etnomatemática, foi realizada por Ubiratan D'Ambrosio, que apresentou e utilizou o termo Etnomatemática, no Congresso Internacional de Matemática, na Austrália, em 1984.

A Etnomatemática é a arte ou técnica (techné), de explicar, de entender, de se desempenhar na realidade (matema), dentro de um contexto cultural próprio (etno). (D'Ambrosio, 1993).  Com a etnomatemática, reconhecemos que todas as culturas, todos os povos, desenvolveram maneiras próprias de explicar, de conhecer e de modificar suas realidades, que estão em permanente evolução.

A idéia fundamental da etnomatemática é a de não desprezar os modelos ligados as essas tradições e considerar como válidos todas as maneiras de explicação dos conhecimentos, construídos por outros povos.  Devemos salientar que estas formas de construção de conhecimentos não são estáticas ou mortas, pois estão em constante mutação, em virtude do dinamismo cultural.

A etnomatemática não é simplesmente o estudo da matemática ou das etnias, pois trata-se de um programa mais geral e abrangente, que utiliza os diversos meios que as culturas utilizaram e utilizam para encontrar explicações para melhor entender e compreender suas realidades, com o objetivo de vencer as dificuldades que surgem em suas vidas diárias.  Porém, em todas essas culturas, para buscar este entendimento, há necessidade de quantificar, comparar, classificar, medir e modelar, o que faz com que a matemática surja naturalmente nestes contextos culturais.

Quando ensinamos matemática nas escolas, não permitimos que os alunos tenham acesso a vivência necessária para chegar a matemática real, pois negamos a eles uma série de atitudes e habilidades, para que eles criem um ambiente adequado para que possam fazer matemática espontaneamente.

É evidente a necessidade que as escolas têm de acelerar o processo de construção e aquisição do conhecimento que a humanidade levou milhares de anos acumulando, porém, não podemos oferecê-lo pronto e acabado para os alunos.  Devemos, portanto, dar oportunidade para que eles possam vivenciar um pouco essa experiência, refletindo sobre suas realidades, para que sejam conduzidos ao conhecimento.  Por isso, devemos dar o enfoque da etnomatemática para a matemática, implementando a sua utilização nas escolas, proporcionando aos alunos uma vivência que somente faça sentido se eles estiverem em seu ambiente natural e cutural; criando situações variadas que possam despertar e aguçar o interesse e a curiosidade que os alunos possuem naturalmente, para tornar a matemática agradável de ser aprendida, tendo como objetivo conectar a matemática ensinada nas escolas com a matemática presente em seus cotidianos, utilizando modelos matemáticos, ferramentas básicas da modelagem matemática, que é a meotodologia por excelência da etnomatemática (D’Ambrosio, 1993).

Como educadores matemáticos, devemos contribuir para que todas os alunos possam ter acesso adequado ao conhecimento matemático, possibilitando-lhes a sua participação de forma efetiva na sociedade.  Porém, para que isto efetivamente ocorra, é necessário modificarmos a imagem que a matemática possui de funcionar como uma máquina seletora que determina quais alunos irão concluir cada estágio escolar.  Devemos discutir também sobre a importância da matemática para a construção da cidadania, com ênfase, principalmente, na participação crítica e autônoma dos alunos, proporcionando-lhes o estabelecimento de conexões da matemática com outros temas de sua vida cotidiana.

Os professores, enquanto mediadores do processo de ensino-aprendizagem, devem esclarecer aos alunos a importância da matemática como instrumento para melhor compreensão do mundo que está a sua volta e também, como um conhecimento que procura estimular o interesse, a curiosidade, a criatividade, a criticidade, a investigação e a resolução de problemas.  Mas, para que estas habilidades sejam adequadamente desenvolvidas nos educandos, devemos explorar os conteúdos matemáticos de uma maneira inovadora, instrumentando-os para a vida e também em sua forma de pensar.

O conhecimento matemático construído e a sua utilização não foram feitos somente por matemáticos e cientistas, mas também, por maneiras diferentes, por todos os grupos sociais, que, ao longo da história, desenvolveram e utilizaram as habilidades necessárias para contar, localizar, medir, representar e explicar, de acordo com as suas necessidades e interesses.  Assim, a matemática surge de acordo com as necessidades do momento histórico e por isso temos que valorizar o saber matemático culturalmente construído para que possamos aproximá-lo do saber escolar, no qual os alunos fazem parte, para que eles se tornem efetivamente o agente ativo desse processo de ensino-aprendizagem.  Dessa forma, estaremos contribuindo para superar o mito de que a matemática é um conhecimento direcionado somente para uma elite que está presente em determinados grupos culturais ou em algumas sociedades desenvolvidas.

Temos consciência de que o trabalho desenvolvido pelos professores atualmente, ainda permanece enraizado na matemática tradicional, que somente leva os alunos simplesmente a reproduzirem e a memorizarem, pois a maior parte do programa curricular da matemática ensinada atualmente é tradicional.  Novas propostas continuam sendo feitas no sentido de incluir novas aplicações e metodologias, entretanto, essas novas aplicações ainda utilizam e empregam sistemas utilizados pela matemática tradicional e moderna.

Devemos considerar que a qualidade do ensino da matemática não depende de sua característica, isto é, se o ensino é tradicional ou moderno, mas do que é fazer matemática hoje, numa sociedade que está iniciando o século XXI, com raciocínio lógico, criatividade, habilidade para aprender situações inovadoras, capacidade de tomar decisões, conhecimentos técnicos ou gerais, espírito empreendedor, responsabilidades com o meio ambiente, com a preservação histórico-social do seu contexto cultural, espírito de solidariedade e iniciativa técnico-científicas para a resolução de problemas e desenvolvimento de processos ligados a vida profissional e cotidiana.

Considerando que o ensino da matemática deve fazer parte desse contexto sócio-histórico-cultural, ter o conhecimento desta disciplina é condição básica para atuação crítica do indivíduo na sociedade, visto que a falta ou insuficiência deste conhecimento matemático faz com que a maioria das pessoas torne-se incapaz de compreender muitos problemas que as afetam, não só na vida pessoal, mas na sociedade como um todo, impedindo dessa forma, uma tomada de posição mais crítica frente aos problemas e caminhos propostos para resolvê-los.  É necessário que se dê a todos os indivíduos acesso aos conhecimentos e instrumentos matemáticos úteis a sua existência e uma melhor compreensão dos fenômenos naturais e sociais do mundo que os cercam.

Ao utilizarmos a matemática como instrumento social e de cidadania, devemos assegurar uma forte fundamentação conceitual, para evitarmos que os conteúdos sejam explorados somente sob uma forma instrumentalizada ou folclórica, desenvolvendo o raciocínio lógico e a capacidade de pensar, para que os alunos possam ir além da simples memorização, contribuindo dessa maneira para a evolução do espírito crítico e para mostrar a matemática como saber ligado a vida e a história dos seres humanos.

O trabalho do professor neste novo contexto deve ser o de fazer uma análise crítica dos conteúdos, identificando a sua importância, a sua real necessidade e os seus principais objetivos, buscando a natureza da matemática, partindo de sua história e de suas ligações com a sociedade, para mostrar as reais necessidades e as preocupações de culturas diferenciadas em momentos históricos diferentes e estabelecer comparações entre os conceitos matemáticos do passado e do presente e sua conexão com o futuro.

Com a valorização da resolução de problemas ou situaçoes-problema, proposição de desafios e outras atividades, com o objetivo da comunicação matemática e da ampliação da visão de mundo e do desenvolvimento das formas de pensar, deve-se buscar atividades interdisciplinares, utilizando pesquisas ou análise de problemas reais, buscando sempre modelos matemáticos para resolvê-los.  Contudo, somente a seleçao de conteúdos não basta para garantir que se alcance os objetivos do ensino de matemática, pois as maneiras como os assuntos são abordados pelo professor em sala de aula é decisiva, visto que a responsabilidade individual interdisciplinar, a postura interdisciplinar e o envolvimento interdisciplinar é a marca registrada para o sucesso desse novo aspecto do ensino da matemática.

Para que se utilize a etnomatemática como proposta de trabalho pedagógico com relação ao ensino da matemática, devemos formar professores flexíveis, curiosos, inquietos e pesquisadores, que possam levar as crianças para a pesquisa, o que somente acontecerá se o próprio professor for curioso em seu ambiente.  Porém, os cursos de formação de professores não conseguem, atualmente, formar um professor que seja inquieto, curioso e pesquisador, porque a formação acontece, salvo algumas exceções, através de um conhecimento pronto e acabado.  O professor que sai das universidades é um indivíduo passivo, que muitas vezes somente assistiu aulas, ouviu um conhecimento cristalizado, não participou ativamente do processo e no final prestou contas se aprendeu ou não o conteúdo que foi transmitido.  A maior parte da matemática que foi transmitida é pouco crítica, porque não mostra a universalidade desse conhecimento.  A matemática mais avançada ainda está em formação, passa por grandes questionamentos, tem suas incertezas, assim como tinha a matemática dos séculos passados, hoje considerada consolidada.  Todas essas incertezas e toda a dinâmica das ciências deveriam estar presentes na formação do professor, porque provocam inquietação, aguçam a criatividade e mostram que a ciência é algo vivo, que não está morto e não cristalizado.  Nesta perspectiva, D’Ambrosio (1993) afirma que isto não quer dizer que a matemática do passado está errada, mas ela era aplicável num contexto muito mais limitado do que hoje.

Hoje, a teoria do caos e dos fractais são exemplos dessa matemática de fronteira que muitas vezes são ignorados nos sistemas universitários, pois a grande parte do conteúdo dos currículos matemáticos universitários é do século XVII e XIX, e quando se tem algo referente ao século XX é o conteúdo que foi consolidado no século XIX.  O professor egresso das universidades sai com um conhecimento pronto, acabado e antiquado, e em seu trabalho vai conviver com crianças potencialmente ativas, inseridas num mundo globalizado e informatizado, e que terão suas mentes condicionadas a esse conhecimento pronto e mecanizado.  O professor deve ter uma procupação constante quanto a abordagem da matemática em sala de aula, pois ela contribui muito mais para a a passivação dos alunos do que as outras disciplinas.  A matemática é considerada a mais importante das disciplinas e quem vai bem em matemática é logo identificado como gênio e inteligente.  Porém, na etnomatemática, o fato de uma criança não saber fazer uma continha, não siginifica que ela não seja criativa, mesmo porque não há criatividade alguma em fazer continhas.  Se as escolas derem espaço para a criatividade dos alunos, ela estará contribuindo para a formação do cidadão do século XXI, pois o papel do professor neste novo processo escolar não é o de ser o condutor do ensino, mas sim, o de facilitador do econtro dos alunos consigo mesmos em suas buscas e procuras, para extrair deles tudo o que eles têm para dar, pois este é o significado de uma educação epistimológica.

Para este programa o professor deve estar sempre atento aos interesses dos alunos, organizando projetos que necessariamente digam respeito ao seu meio sócio-cultural.  Por isso, a prática do ensino da matemática deve ser canalizada para que cada um encontre o seu nicho, dando-lhes oportunidades intelectuais e ampliando-as.  Assim, a matemática vai tornar-se algo bom e essencial para a sociedade, muito mais pela busca de explicações e compreensões de maneiras e modos de se lidar com a realidade, do que sobre o que se vai aprender, já que o seu aprendizado acontece com muito mais frequência fora da escola.  Por exemplo, uma criança com 15 anos e que entra na escola com 7 anos, já viveu mais de131.000 horas, passou aproximadamente 9.000 horas nos bancos escolares, assistiu cerca de 16.000 horas de TV e dormiu quase 44.000 horas.  Isto significa que nas 122.000 horas que esse indivíduo passou fora da escola, ele não parou de aprender, porque aprendizado acontece vivendo, convivendo e até mesmo dormindo.

A função da matemática atualmente é importantíssima, pois ela pode dar ao indivíduo uma oportunidade na vida para que ele possa realizar um projeto, uma tarefa em conjunto com pessoas que ele não conhece, formando um time, em que cada uma leva e deixa a sua contribuição.  Neste momento, eles começam a desenvolver a capacidade de viver e conviver em sociedade, respeitando as forças e as fraquezas dos outros e expondo também as suas próprias forças e fraquezas, tornando-se críticos e auto-suficientes, com vontade e perspicácia para serem agentes da transformação social.  Nesta perspectiva, a etnomatemática não é somente um enfoque diferente da matemática, pois podemos aplicá-la em qualquer área do conhecimento, mesmo porque os conhecimentos disciplinares não são fechados em si, mas se complementam o tempo inteiro.  A etnomatemática contribui para dar outra imagem para a matemática escolar; que é considerada chata, de difícil compreensão e infalível; pois um dos seus principais objetivos é aguçar a curiosidade e a criatividade dos alunos.

Do ponto de vista pedagógico, a História da Matemática nos mostra como essa ciência evolui e nasce nos sistemas culturais.  No entanto, devemos tomar cuidado para não sermos artificais nesta abordagem, quando nos referirmos a essas culturas distantes, estranhas e que não fazem parte do universo das crianças.  É muito importante falarmos dos egípcios, dos gregos, dos babilônios e de outros povos da antiguidade; para mostrarmos que não eram somente eles que se defrontavam com problemas interessantes, pois nós também nos defrontamos com situações-problemas em nosso cotidiano.  No ambiente dos alunos, eles devem ter oportunidade de observar, de refletir sobre as coisas e de questionar.  E nesses questonamentos, entram naturalmente, a quantificação, as formas, o espaço, o tempo e uma série de outras observações, a partir das quais, os alunos começam a construir os seus conhecimentos.  Assim, eles tiram conclusões a partir do que observam em seu próprio ambiente.  O professor pode muito sutilmente desenvolver juntamente com os alunos, meios e métodos de trabalhar com o ambiente e a realidade, insinuando que um jeito de realizar este trabalho é com a utilização da matemática.  A necessidade de descobrir situações novas toca o emocional dos alunos, que se envolverá na busca de explicações e maneiras de tentar entender o mundo que os rodeia, como se estivessem refazendo o processo de criação das ciências, e consequentemente, criar modelos matemáticos, que são processos dinâmicos para compreender e decodificar a realidade e, sobretudo, tomar uma posição coerente com relação ao objeto de estudo, buscando alternativas para a solução das dificuldades que se apresentarem ao longo do desenvolvimento da situação–problema.  Participando ativamente da construção de seu conhecimento, quando o aluno estiver sozinho, mesmo com a ausência do professor, ou fora do ambiente escolar, ele poderá encontrar maneiras de decodificar a sua realidade com naturalidade e espontaneidade, ampliando a sua visão de mundo e desenvolvendo a sua criticidade.

A proposta do programa etnomatemática é justamente fazer a matemática com muita criatividade e espontaneidade, o que revela a essência de seu trabalho pedagógico.  Por exemplo, considere um aluno que vive no litoral e que mora perto de um estaleiro.  Esse aluno vai assimilar muito mais facilmente tudo o que se referir a navios e barcos, pois essa é a experiência de vida que ele possui.  Ao se deslocar da casa para a escola, ele faz um trajeto diário, dobra esquinas, travessa ruas, encontra pessoas, está atenta e observando o mundo que está ao seu redor.  Se perguntarmos para o aluno quanto ele andou, podemos mostrar por comparação, que os passos das pessoas são diferentes, pois podem ser maiores ou menores, e que, em relação aos passos das outras pessoas, há também diferença de medidas.  Assim, ele chegará a conclusão de que é necessário haver um padrão de medida, que neste caso pode ser o metro; para que as pessoas possam se orientar e seguirem sempre o mesmo padrão.  Durante este trajeto, ele pode atravessar um rio, parar e deter-se a olhá-lo.  Então, ele verá aquelas dragas e vai perceber o que acontece cada vez que a draga perfura o leito do rio com as suas pás.  Ele está observando a quantidade de lixo e de lodo que são retirados, como a pá se desloca, o comprimento e a largura do rio; os peixes que porventura estejam mortos; e, poderá fazer a conexão da matemática presente no cotidiano com a matemática que vai aprender na escola.  Dessa maneira, o professor não pode perder a oportunidade de observar onde o aluno focaliza o seu olhar, o seu interesse e deve explorar e trabalhar sobre essa realidade.  Essa situação é propícia e nos mostra uma riqueza enorme para podermos explorar a matemática, principalmente com relação a geometria e a aritmética.  Porém, como a universidade dá o conhecimento pronto e acabado, acreditamos que nas salas de aula vai acontecer o mesmo.  Existem também outros problemas estruturais, em que o professor de matemática que resolve dar uma aula inovadora, que sai da classe, leva os alunos para a pesquisa de campo; não será bem compreendido, pois existe um processo de pressão sobre o professor, que atualmente, está em condições desfavoráveis, socialmente por baixo, salário inadequado, intelectualmente brutalizado e sem oportunidade e tempo para se aperfeiçoar.  O professor também é pressionado pelo sistema, pelo global, que está particularmente interessado na apatia que os currículos prontos provocam.  Dessa forma, os professores praticamente se esquecem de desenvolver nos alunos a capacidade de questionar, de criticar e de serem criativos.  Os educadores devem buscar a criatividade dos alunos, e essa criatividade vem com o próprio ambiente, em reconhecer e envolver-se com tudo que está ao redor, isto é, buscar uma forma de fazer matemática, utilizando essa realidade.  Existe praticamente no mundo todo um movimento que critica este modelo escolar que dá um conhecimento morto através de várias disciplinas e muito mais do que qualquer outra, através da matemática.  Na maioria das vezes, aprende-se algum conteúdo em matemática que somente existe no contexto escolar e, para tentarem ajustar o processo, para tentarem dar uma vitalidade a essa teoria pronta, introduzem-se, algumas vezes, os chamados materiais manipulativos.  Assim, com muita habilidade e muito esforço, muitas vezes, o aluno “aprende” e repete tudo o que aprendeu, nas avaliações.  Muita coisa pode parecer importante para ser ensinado em sala de aula, porém, acreditamos, que elas somente sejam importantes por estarem escritas no currículo.

Podemos, assim, justificar a inclusão da matemática nos currículos escolares, pois ela é necessária em atividades práticas que envolvem aspectos quantitativos e qualitativos da realidade e porque desenvolve o raciocínio lógico.  Porém, somente um destes aspectos não é suficiente para caracterizar a necessidade dessa inclusão.  Assim, para compreendermos a real função desempenhada pela matemática no currículo, as aplicações práticas e o desenvolvimento do raciocínio devem ser considerados elementos inseparáveis.  Somente um desempenho satisfatório dessas duas funções nos darão ferramentas conceituais para estabelecermos a continuidade entre a escola e a vida e para encontrarmos o caminho para a construção da autonomia intelectual das crianças.  Esta autonomia não é meta exclusiva da matemática, porém, esta disciplina é muito importante e tem um significado especial na elaboração desse raciocínio.  Por isso, as preocupações metodológicas para o ensino da matemática devem fazer parte do cotidiano do professor.  Neste contexto, uma resposta aos nossos questionamentos e preocupações é abordar a etnomatemática como ação pedagógica através do programa etnomatemática.  Para se considerar o Programa Etnomatemática e as suas amplas possibilidades de pesquisa e de ação pedagógica, um passo essencial é libertar-se do padrão eurocêntrico e procurar entender, dentro do próprio contexto cultural do indivíduo, seus processos de pensamentos e seus modos de explicar, de entender e de se desempenhar na sua realidade.(D'Ambrosio, 1993).  Sendo assim, a participação do aluno na elaboração de seu conhecimento é um dos aspectos fundamentais do ensino-aprendizagem.  Esta participação deve ser orientada para que os conceitos possam ser construídos e as tarefas possam ser realizadas para que a construção do conhecimento realmente se efetive.  Neste programa, o professor deve ser o orientador do processo da aprendizagem, aquele que está junto com o aluno; que instiga as idéias; orienta os rumos, num trabalho em que os acertos e os erros são muito importantes.  Assim, propõe-se desenvolver um tema com os alunos, que pode ter como ponto de partida a colocação de um problema que faz parte de seu cotidiano, a partir do qual se iniciará a discussão das idéias centrais do tema em questão, considerando os objetivos matemáticos que se queira atingir com a atividade proposta.

Este tema retirdo do cotidiano do aluno é aqui entendido como uma situação que desafie o aluno a refletir, a levantar hipóteses, a buscar caminhos para soluções; a procurar novas aplicações dos conceitos e aprofundar a compreensão dos mesmos; a exercitar a criatividade, a generalizar propriedades, a descobrir outras soluções e a discutí-las com o grupo, verificando as condições para que essas soluções sejam válidas.  A discussão do problema e o levantamento de hipóteses são etapas muito importantes do programa pois conduzem o aluno na verificação da validade ou não das soluções obtidas.  Nesta ocasião propicia-se os alunos a verbalização das observações feitas e o desenvolvimento de um raciocínio lógico para defender a sua opinião perante o grupo e também para criticar e avaliar o ponto de vista apresentando por um colega.

Um trabalho desenvolvido também com os erros, encarando-os como elementos integrantes e importantes para a elaboração do saber matemático, leva os alunos ao entendimento de que é necessário passarmos por fases de acertos e erros, por confrontações e justificações, pois estas observações nos levam à reformulação do raciocínio e do processo de resolução da situação-problema proposta.  Torna-se necessário também a verificação da existência ou não de outras soluções, pois existem problemas que podem não apresentar solução, ou apresentar mais de uma, contribuindo para que o aluno não tenha a crença de que todo problema tem uma e só uma solução.  A discussão sobre as soluções do problema, levará as crianças à reflexão sobre os dados e as condições impostas, que são necessários para a escolha dos procedimentos para solucioná-lo; bem como para compreender e desenvolver a linguagem em que estão expressos.  Por intermédio da discussão da situação-problema, instala-se um diálogo saudável entre professor/aluno e aluno/aluno, no qual vai se concretizar um processo de familiarização entre os conceitos matemáticos e a sua conexão com os problemas diários, através de suas representações por modelos matemáticos, fazendo surgir dessa maneira a necessidade de uma linguagem que seja favorável à comunicação das observações realizadas, das discussões dos processos de resolução que foram utilizados e dos resultados que foram obtidos, conduzindo-os às reflexões; que são ações sobre a realidade, que levam ao saber, partindo essencialmente do global da realidade para o local, permitindo-nos chegar às representações nas quais elaboraremos as estratégias de ação.  Assim, os modelos matemáticos funcionam como mediadores importantes da comunicação entre o aluno e as suas competências na elaboração das idéias matemáticas.  Esse processo de passagem do global-local-global, a partir das representações é chamado de modelagem. (D'Ambrosio, 1993).

O ensino-aprendizagem em matemática, com a utilização do Programa Etnomatemática, não pode abrir mão do concreto, embora o concreto não deva ser confundido com “manipulável”, pois concreto é tudo aquilo que tem significado para a criança.  A cultura e a realidade da criança são materiais concretos para ela, pois fazem sentido e têm significados reais.  Assim, deve-se buscar as concretizações, sem artificialismos, para que possamos conduzir as crianças ao caminho da abstração.  Assim, parece que conhecer a cultura local, estudá-la, respeitá-la, estudar a matemática conhecida dos pais dos garotos e conhecer os temas com os quais a matemática dele se relaciona, ajuda o professor em sua tarefa educacional, transformando-o em um professor/pesquisador. (Borba, 1993).

Neste programa, o conteúdo matemático deve ser significativo para a criança, devendo levar em consideração a sua realidade, suas aspirações, seu estágio de desenvolvimento biológico, psicológico e intelectual; enfatizando sempre a construção dos conceitos.  A proposição dos problemas devem ter o propósito de servir incialmente para a elaboração dos conceitos matemáticos e posteriormente fazer a sintetização das idéias que foram trabalhadas, considerando o processo de elaboração da linguagem matemática, para nunca apresentá-la em sua forma final e formalizada.  Nesta perspectiva, o ensino de matemática, no Programa Etnomatemática não deve processar-se isoladamente dentro do currículo escolar, visto que a maior maioria dos problemas que são apresentados no cotidiano dos alunos e que eles são obrigados a resolver, é de natureza interdisciplinar.  Os conteúdos matemáticos a serem escolhidos e trabalhados neste programa, devem ser aqueles que melhor contribuam para a formação geral do indivíduo, proporcionando oportunidades para o desenvolvimento da observação, enfatizando a construção de conceitos; considerando as etapas pelas quais os alunos deverão passar, para reconstruí-lo; contribuindo para que os alunos desenvolvam sua capacidade de resolver problemas para a matemática e para a vida, possibitando a aquisição de certas habilidades que contribuirão para a visão global de mundo.  Devemos assumir o compromisso de recuperarmos a matemática e a qualidade do seu ensino que é oferecido à sociedade.

Nesse processo de recuperação da imagem da matemática, nenhuma proposta de reforma ou modernização do ensino deste ensino pode priscindir da utilização do Programa Etnomatemática.  A matemática deve ser vista, de um lado como um conteúdo que possa refletir as características políticas, econômicas, sociais e culturais de um determinado grupo social ou de uma determinada cultura e, por outro lado, como um conteúdo que se afirma como um fator essencial destinado ao crescimento intelectual, cultural, ético e profissional dos alunos.  Para que a matemática tenha um papel de instrumento primordial na colaboração e na preparação de uma nova cidadania, terá que ser dinâmica e inovadora, pois através dela devem ser estimulados a discussão, o estudo, a pesquisa e a posse dos conhecimentos disponíveis e acumulados através dos tempos e nas diversas culturas.

Para cumprirmos esta missão, devemos ter o pleno domínio e a apropriação dos conhecimentos matemáticos, bem como de seus processos de produção, levando os alunos à capacidade de compreensão da realidade social e das formas de intervenção nessa realidade.  Neste contexto, a educação matemática deve propiciar o domínio de competências e habilidades que permitam a plena participação do indivíduo, enquanto cidadão globalizado, nas múltiplas e complexas atividades que são exigidas na vida moderna.  A matemática deve afastar-se do modelo atual em que figura como a rainha das disciplinas, num imenso currículo burocrático.  Ao contrário, ela devese transformar numa disciplina viva e atuante na vida dos alunos e da sociedade.  Através do Programa Etnomatemática, a matemática pode tornar-se um conteúdo capaz de se reformular e se

adaptar, com vistas a atingir e concretizar os seus objetivos.  Assim, os professores devem redefinir a sua relação com a matemática e rever a qualidade de seus vínculos com relação ao ensino-aprendizagem de seus alunos.

As idéias aqui apresentadas têm o objetivo de subsidiar a ação docente, pois há plena consciência de que o processo de transformação qualitativa no ensino de matemática está nas mãos dos educadores, especialmente em matemática, que se preocupam com a formação do cidadão deste século que se inicia.  Neste contexto, a aplicação do Programa Etnomatemática na sala de aula, pode conduzir os alunos a aprenderem diversas etnomatemáticas.  Este aspecto estaria coerente com o fato de que eles pertencem a sociedades complexas onde diversas etnomatemáticas são necessárias para se desenvolverem diversos tipos de problemas que são frutos de interesses diversos. (Borba, 1993).  Assim, dentre os inúmeros trabalhos que foram apresentandos, mundialmente, na tentativa de solucionar o problema pelo qual a matemática vem atravessando nas últimas décadas, destaca-se o Programa Etnomatemática, com suas propostas alternativas para a ação pedagógica, que considera o relacionamento íntimo da matemática com os apectos sócio-culturais e políticos, com o objetivo de auxiliar os professsores na execução de seu trabalho diário de fazer com que as crianças dominem os conhecimentos necessários para crescerem enquanto cidadãos plenamente reconhecidos e conscientes de seu papel em nossa sociedade.

Alguns Caminhos para a Aplicação da Perspectiva Etnomatemática em Sala de Aula

À medida que nos transformamos de uma sociedade industrial do século XX, para uma sociedade de informação do século XXI, o conhecimento matemático torna-se cada vez mais importante para que os indivíduos possam ter acesso a uma educação matemática que os preparem para o trabalho e para o convívio social.  Para conseguirmos uma sociedade equilibrada no próximo século, devemos abolir no início deste novo século, as dificuldades enfrentadas pela educação matemática.  Dessa forma, devemos realizar um trabalho em conjunto, com grandes expectativas em relação ao ensino-aprendizagem em matemática, para que possamos oferecer aos nossos alunos, uma educação que lhes permita abrir caminhos para a sua realização pessoal e para o seu bem-estar social.  Dessa forma, em resposta ao movimento "back to basics" americano que procurava previlegiar a aprendizagem do cálculo, O NCSM (The National Council of Supervisors of Mathematics), produziu em 1977, um documento que procurava definir, de forma ampla, o que deveria ser entendido por competências básicas em matemática.  Este documento teve grande repercussão na época de seu lançamento, colaborando para a elaboração da agenda para ação, para os anos 80, do NCSM, procurando levar em consideração as mudanças sociais, culturais e tecnológicas como novas orientações pedagógicas que progressivamente vêm sendo sendo incorporadas ao ensino da matemática.

Em 1988, o NCSM debateu sobre os conteúdos mínimos básicos referentes a matemática que os alunos necessitarão em suas atividades futuras para melhor atuarem na sociedade deste novo milênio.  Esse debate originou o documento “Basic Mathematical Skills for the 21^st Century”.  O NCSM considera essenciais as competências que são necessárias para conduzirem os indivíduos ao mercado de trabalho e para a convivência em sociedade.  Para alcançarem esses objetivos, os alunos deverão:

·        Adquirir uma profunda compreensão dos conceitos e princípios matemáticos,

·        Desenvolver a capacidade de raciocinar claramente,

·        Desenvolver a capacidade de comunicar-se de modo eficaz,

·        Reconhecer a aplicação da matemática no mundo que os rodeia,

·        Desenvolver a capacidade de enfrentar os problemas matemáticos com confiança.

·        Entender e compreender o aspecto sócio-cultural da matemática.

O NCSM identifica importantes áreas de competência em matemática em que os alunos deverão apresentar determinadas habilidades, para atuarem como cidadãos responsáveis do século XXI.  Por estarem diretamente relacionadas com os pressupostos do programa etnomatemática, destacamos as seguintes áreas:

·        Resolução de Problemas: Para o NCSM, a resolução de problemas é um processo de aplicação de conhecimentos previamente adquiridos à situações novas e não familares.

Resolver problemas escritos é uma forma de resolução de problemas, porém, é importante que os alunos se defrontem com problemas que não sejam textualizados.  Assim sendo, os alunos terão condições de enxergar soluções alternativas e resolver problemas que apresentem mais de uma solução.

·        Comunicando as Idéias Matemáticas: O NCSM salienta que os alunos devem comunicar-se matematicamente, sendo capazes de compreender as idéias matemáticas que são transmitidas verbalmente, por escrito ou através de imagens; exprimir idéias matemáticas através da fala, ou da escrita, ou com a ajuda de desenhos, gráficos, diagramas, ou materiais concretos.  Durante as aulas, os alunos devem ser constantemente estimulados a debater (aspecto dialógico) com os colegas ou com o professor, argumentar e contra-argumentar através da escrita ou da fala, ajudando-os a desenvolver sua capacidade de expressão matemática.

·        Raciocínio Matemático: O NCSM enfatiza a importância do raciocínio lógico em matemática, salientando que os alunos devem ser capazes de chegar a conclusões a partir de um dado conjunto de condições.  Outra ênfase é a validação, ou seja, o aluno deve ser capaz de justificar o seu pensamento e o processo de solução utilizado, seja através de modelos ou, então, utilizando fatos conhecidos, propriedades e generalizações.  O aluno deve também deve ter capacidade de identificar padrões, fazer conjecturas e usar contra-exemplos para invalidar uma dada conjectura.

·        Aplicação da Matemática à Vida Cotidiana: O NCSM também recomenda que os estudantes sejam encorajados a representar matematicamente situações da vida real através de gráficos, diagramas, tabelas e expressões, e processar matematicamente os dados representados, com a utilização de modelos matemáticos para obter resultados que deverão ser interpretados em conexão à situação real dada.

·        Probabilidade e Estatística: O NCSM salienta que os alunos devem possuir habilidades básicas nestas áreas.  De um modo geral, os alunos devem ser capazes de planejar e utilizar coleção de dados para responder questões da vida cotidiana e para compreender como a matemática é utilizada para ajudar a fazer previsões em diversas situações como eleições, negócios, loterias, eventos esportivos e crescimento populacional.  A probabilidade e a estatística são conhecimentos que devem fazer parte da cultura matemática mínima dos alunos, pois estamos vivendo num mundo onde as informações são processadas e apresentadas estatisticamente.

Com a utilização do programa etnomatemática existe a possibilidade de se conduzir um ensino no qual se desenvolva a autonomia dos alunos para que eles adquiram as habilidades necessárias para produzirem e re-produzirem matemática.  Esse programa viabiliza a produção matemática, pois, inclue a formulação e experimentação de hipóteses, o diálogo entre os alunos, para que eles possam trocar idéias, contestar e validar as hipóteses.  O aproveitamento da modelagem matemática em sala de aula também contribui para facilitar a aprendizagem em matemática, pois através da vivência e das descobertas compartilhadas pelos alunos, eles adquirem a confiança necessária para expor suas idéais e chegarem ao consenso comum na busca da soluções necessárias para cada tipo de problema.  De acordo com Lellis e Imenes (1994) deve-se introduzir novos temas como a estatística; diminuir a ênfase nos processos mecânicos como algoritmos e cálculos em geral; ampliar a presença de problemas da realidade e de jogos, tudo isso tráz a matemática para mais perto do universo do aluno e permite que ele perceba a importância social da disciplina.

Etnomatemática e Informação

Atualmente, há uma quantidade enorme de informações que são veiculadas pela mídia, livros e outras fontes, que nos apresentam numerosos dados, que podem influenciar em nossa atividade profissional, em nosso convívio e em nossa cultura.  De acordo co Zaslavsky (1996), é necessário habilitar os alunos para que eles sejam capazes de analisar os gráficos estatísticos que estão presentes na mídia pela aplicação do conhecimento matemático que possuem com o objetivo de solucionar os problemas que estão presentes na sociedade atual, atuando, dessa forma, como cidadãos das comunidades às quais pertencem.  Esses dados desenvolvem formas particulares de pensamento e raciocínio que podem nos auxiliar na resolução de situações-problema em que é necessário coletar, organizar e apresentar dados, interpretar, comunicar resultados e tomar decisões através da linguagem estatística.

Utilizando-se da metodologia modelagem matemática poderemos formular modelos que abarcarão uma ampla variedade de conteúdos matemáticos que fornecerão a ampliação e aplicação de conceitos, desenvolvendo certas atitudes como posicinar-se criticamente, fazer previsões e tomar decisões baseadas nas informações apresentadas diariamente pelos meios de comunicação.

A informação costuma despertar o interesse do aluno pelas questões sociais que oferece e pode ser utilizada como um contexto significativo para a aprendizagem dos conceitos e procedimentos matemáticos e a conexão com as outras áreas do conhecimento.  Assim, os conteúdos matemáticos estabelecidos fornecem instrumentos necessários para uma abordagem estatística, que pode ser explorada com a realização de pesquisas que sejam de interesse dos alunos.  Dessa maneira, ao olharmos para o futuro, reconhecemos que o uso de calculadores e computadores e as aplicações do método estatístico continuarão se expandindo.  Dessa forma, a resolução criativa dos problemas, o raciocínio rigoroso e a comunicação eficiente, aumentarão de importância.  Para desempenhar essas funções com eficiência, os alunos necessitarão de um conjunto mais vasto de competências matemáticas, com o desenvolvimento de capacidades básicas para a resolução de problemas que os habilitem a compreender os conceitos em que essas regras se baseiam, tornando cidadãos mais participativos no contexto social.

Etnomatemática e Cidadania

Uma educação que tenha o compromisso para a construção da cidadania exige uma prática educacional que esteja voltada para a compreensão da realidade social e dos direitos e responsabilidades em relacão à vida pessoal, coletiva e ambiental.  Todos os indivíduos necessitam ter garantidos o direito de participação ativa no exercício da cidadania.  Para que se efetive esse direito, as pessoas precisam ser alfatizadas.  Porém, essa alfabetização não envolve somente a leitura e a escrita, mas envolve também a matemática.  Neste contexto, a matemática também pode colaborar objetivando a formação da cidadania.  Porém, com a limitação da exploração de conteúdos acadêmicos, sem qualquer conexão entre os seus próprios campos ou com outras áreas do saber, o ensino da matemática pouco tem contribuído para a formação geral do aluno com vistas à conquista da cidadania.

A matemática é certamente a disciplina que mais provoca reprovações, sendo portanto a grande responsável por excluir grande parte da população de participar ativamente da cidadania.  Em todo processo seletivo que a sociedade utiliza quando possui mais competidores do que precisa ou quando o número de competidores é maior do que a demanda, a matemática é solicitada para solucionar o problema.  De acordo com Ferreira (1993), todos os paradigmas educacionais buscam dar a matemática o seu lugar na educação para a cidadania.  No ponto de vista de Ferreira, de todos os movimentos em educação matemática voltados para a cidadania, o que de fato responde ao conceito que ele possui de cidadania e que faz uma relação mais coerente entre cidadania e educação, é o Programa Etnomatemática.  Assim, a etnomatemática possibilita a liberação das verdades matemáticas universais e respeita o aprendizado não acadêmico do cidadão.  Então, devemos buscar uma cidadania que seja construída na ação social e na política e que não seja determinada por elites consideradas "detentoras do saber".

O Programa Etnomatemática e os grupos sociais marginalizados

Introdução

Os membros pertencentes aos grupos marginalizados, como os do Movimento dos Trabalhadores Rurais Sem-Terra (MST), no Brasil, precisam saber ler e escrever, mas também precisam ter conhecimentos sobre os conceitos básicos da matemática.  Nesse contexto, a alfabetização matemática é necessária, pois estabelece vínculos estreitos entre a educação matemática e a cultura destes grupos sociais, possibilitando que eles tenham dignidade e garantido o direito do exercício pleno da cidadania.

Breve Histórico

Na década de 80, no Brasil, os problemas da terra se agravaram.  A concentração fundiária continua grande: enquanto 4.5 milhões de pequenas propriedades rurais, de até 100 ha têm apenas 20% de toda a área e empregam 78% da força de trabalho rural, 50 mil grandes propriedades rurais com mais de 1,000 ha ocupam 45% da área e absorvem somente 4% da mão-de-obra.  Com o fim do “milagre econômico” da década de 70, e a recessão dos anos 80, há um grande aumento do desemprego e do êxodo rural.  Com isso, cresce o número de conflitos violentos no campo: são 4.2 mil entre 1987 e 1994, que deixam centenas de vítimas.

O governo brasileiro tem utilizado a política de assentamentos em terras públicas e em áreas consideradas improdutivas, desapropriando-as para fins de reforma agrária.  Nos últimos doze anos, são assentadas no Brasil pouco mais de 300 mil famílias, menos de 7% do que seria necessário segundo o MST,  a mais importante organização que luta pela reforma agrária, e que lidera a mobilização social no campo.  Segundo o MST, há 4 .5 milhões de famílias no Brasil para assentar.  Os proprietários dos latifúndios, que também estão organizados em entidades políticas, reagem contra as pressões e as invasões de terra do MST.  Em abril de 1997, o MST realiza em Brasília, a maior manifestação popular contra o governo de Fernando Henrique Cardoso, denominado: Marcha Nacional por Reforma Agrária, com aproximadamente 100,000 manifestantes.

A Abordagem Etnomatemática

A alfabetização matemática proposta para estes grupos sociais considera imporante que a cultura e a tradição destes grupos sejam valorizados.  Os métodos populares que estes grupos sociais marginalizados possuem para realizar cálculos matemáticos devem ser discutidos, refletidos, analisados e posteriormente, comparados aos métodos matemáticos “oficiais e tradicionais”.  Dessa forma, os membros destes grupos, passam a estabelecer comparações entre os diferentes conhecimentos, e principalmente, passam a ter condições  de escolher o método que lhes pareça mais adequado para solucionar problemas, quando se defrontarem com situações reais.

A abordagem etnomatemática para o ensino-aprendizagem da matemática nos assentamentos dos sem-terra, vincula a educação matemática à cultura da comunidade e sua atividade produtiva.  A matemática leva em consideração, o dia-a-dia das crianças e dos adultos.  Dessa maneira, as terras, as hortas, o plantio, a colheita e os calendários, são problemas reais, que se transformam em modelos matemáticos, para serem solucionados.  A aproximação da educação matemática com a realidade e a cultura dos sem-terra é física, pois as escolas ficam junto das lavouras e uma das paredes da escola é ocupada por pás e enxadas.  Propõe-se que a matemática seja procurada fora da sala de aula.  Assim, a aprendizagem dos alunos acontece primeiramente na prática.  Posteriormente, recorre-se aos livros matemáticos, para que este conhecimento seja formalmente teorizado e fundamentado.  Os professores de matemática destes assentamentos, utilizam sempre um mesmo tema para todos os alunos, variando as atividades de observação: pesquisas, coletas de dados e exercícios em sala de aula.

Perspectiva etnomatemática como ação pedagógica: A Horta

Os alunos saem da escola e vão à horta de subsistência para determinar a sua área e o seu perímetro.  Começam a medí-la com uma mangueira ou uma corda, que lhes serve como uma trena.  Dessa forma, conseguem fazer corresponder unidades de medidas não-convencionais com unidades de medidas convencionais.  Determinam a área de cada canteiro, o número de canteiros necessários para formar a horta, de acordo com área pré-determinada para a horta.  Há uma reflexão sobre as dimensões e as formas que sejam ideais para os canteiros, para que eles possam ter uma  área máxima, de tal forma que haja um melhor aproveitamento do espaço planejado para a horta.  As crianças menores registram a quantidade e a variedade de verduras e legumes colhidos em cada canteiro.  Quando os alunos voltam para a sala de aula, as crianças mais novas adquirem noção para representação de conjuntos, pois somam separadamente os tomates, alfaces, cenouras, repolhos, beringelas, para depois juntarem tudo o que foi colhido, para obter o total de verduras e legumes que foram plantados.  Com os alunos maiores, os professores trabalham com a noção de maior e menor, porém, não somente pela comparação do tamanho das verduras e legumes, mas também, pela comparação do número de cenouras com o número de beringelas, etc.  Este momento é oportuno para a introdução da simbologia matemática necessária para efetuar essas representações.  As quatro operações básicas da matemática: adição, subtração, multiplicação e divisão, também são trabalhadas neste contexto.  Existe a preocupação com a formulação e a resolução de problemas que representem cada situação.  Assim, as contas apresentadas aos alunos, sem contextualização não é adequada à aplicação desta metodologia.  Os cálculos são realizados com a utilização do raciocínio e do conhecimento matemático que elas possuem.  Dessa forma, novos conceitos matemáticos vão sendo incorporados aos conceitos anteriores, e os alunos vão construindo o seu conhecimento matemático, baseados em situações retiradas da realidade em que vivem.  Neste contexto, os alunos têm conhecimento da real necessidade de se efetuar determinados cálculos matemáticos.  Os objetivos, as atividades e e os problemas, como parte do plano de ensino de cada aula, são criados em conjunto pelos professores e alunos.

Perspectiva etnomatemática como ação pedagógica: A Produção de Leite

Os alunos conversam com os pais que trabalham com a produção de leite, para levantar dados referentes à produção diária, o preço de cada litro de leite e as depesas que são necessárias para determinada produção.  Os cálculos de produção diária, semanal, mensal e anual, permitem determinar o valor arrecadado sobre a venda deste produto.  Através do valor obtido pelas vendas, os alunos subtraem as despesas, tais como rações e remédios para o gado; subtraem os impostos, para poderem calcular o valor do lucro obtido pelo assentamento.  Assim, através desses cálculos, os alunos determinam a porcentagem de lucro que cada família do assentamento deve receber.

Conclusão

Hoje, no Brasil, se discute a eficiência da reforma agrária como solução econômica: o aumento da produção, como solução social: o aumento de empregos e também como solução ecológica: o equilíbrio entre a cidade e o campo.  Para uns, a produção nas pequenas propriedades já não é mais competitiva, sobretudo, nesta era de globalização econômica, e por isso, não deveria ser estimulada.  Para outros, ao contrário, as pequenas propriedades continuarão a ser responsáveis pelo maior número de empregos no campo e pela maior produção de alimentos de consumo interno.  Dessa forma, cabe a educação matemática estudar essas questões, pois através delas podemos associar os conceitos matemáticos com o seu uso no mundo real, preparando os alunos para refletirem e agirem sobre a realidade.  Dessa forma, nos assentamentos, os pais e os professores, estão unidos na defesa do estudo das crianças.  O estudo é encarado tão importante quanto o trabalho, pois fornece as ferramentas necessárias para aquisição do conhecimento.  O trabalho é encarado como uma atividade matemática, pois as crianças calculam as horas diárias, semanais e mensais, o que lhes permite determinar o valor diário, semanal e mensal dos salários.  Aprender determinar as horas e o relacionamento deste sistema de numeração com o sistema desenvolvido historicamente pelos babilônios, transforma-se em outra prática matemática, pois as crianças possuem horários para estudar, para se divertir, para se alimentar, para descansar e, muitas vezes, para trabalhar.  Outras atividades matemáticas podem ser desenvolvidas, utilizando-se datas de aniverssários, calendário do plantio, calendário escolar, horas-aula dos professores, e tudo o que é produzido pelo assentamento.  Assim, os alunos conseguem identificar o relacionamento destas situações com os padrões matemáticos.  A avaliação das crianças é feita por uma avaliação escrita e pela participação em sala de aula e nas atividades extra-classe.  A nota de participação é discutida pelos  alunos, que também realizam uma auto-avaliação.  Os pais também fazem parte da avaliação, avaliando a evolução dos alunos e a atuação dos professores.  Constata-se uma elevação dos índices de assiduidade e uma redução dos índices de repetência.

A Etnomatemática e os Temas Transversais

Uma educação matemática voltada para a cidadania, requer que as questões de aspectos sociais sejam apresentadas para a aprendizagem e reflexão por parte dos alunos.  Dessa forma, a inclusão de questões sociais no currículo escolar não é uma preocupação recente.  Essas questões sociais devem ser oferecidas aos alunos, visando a  possibilidade da participação no esforço para colaborar na prevenção de problemas econômicos, ambientais, sociais, políticos e psico-emocionais.  Neste contexto, os objetivos e os conteúdos dos temas transversais devem ser incorporados na educação matemática e em outras áreas já existentes no currículo escolar.  Os temas como Ética, Violência, Preconceito, Pluralidade Cultural, Meio-Ambiente, Saúde e Orientação Sexual, não devem fazer parte do currículo escolar como novas áreas de estudo ou disciplinas, mas, devem ser trabalhados como projetos no contexto da educação matemática e outras áreas do conhecimento.  Os temas transversais são amplos e podem gerar problemas motivadores, pois traduzem as preocupações da sociedade atual, com questões importantes, urgentes e presentes sob várias formas no cotidiano mundial.  Estes projetos têm como objetivo a discussão, reflexão e análise da problemática social, podendo apresentar propostas de soluções para as questões sociais.  Dessa forma, estes temas devem ser apresentados aos alunos como metodologia e estratégia para o ensino-aprendizagem em matemática.  Para que os alunos possam trabalhar com temas retirados da realidade, é necessário que eles tenham uma adequada conceituação matemática, que atue como instrumental para a reflexão e análise dos problemas propostos.  Neste contexto, D’Ambrosio, 1999) alega:

Efetivamente, a natureza só pode ser analisada em toda a sua complexidade por meio de modelos que, com maior ou menor grau, aproximam o fato real da representação sobre a qual teorizamos e propomos estratégias de ação.  Esses modelos que comparecem de maneiras distintas em todas as etapas da evolução da humanidade e em todas as culturas, constituem a matemática e as distintas etnomatemáticas (p. 116).

Os projetos propostos procuram dar aos temas transversais um tratamento didático flexível que os contextualizem de acordo com as diferentes realidades e culturas.  Desse forma, os temas devem abordar assuntos que estejam intimamente relacionados com a realidade local, na busca de soluções para os problemas que afligem determinada comunidade.  A finalidade última dos temas transversais se expressa nesse critério: que os alunos possam desenvolver a capacidade de posicionar-se diante das questões que interferem na vida coletiva, superar a indiferença e intervir de forma responsável (MEC-Brasil 1998).  Os temas transversais devem possibilitar uma visão ampla e consistente da realidade local e mundial, desenvolvendo um trabalho na educação matemática que possibilite a participação social dos alunos.

Etnomatemática e Ecologia

Tendo em vista a situação de degradação ambiental vivida por diferentes sociedades no mundo contemporâneo e as preocupações de ordem científica e política nos mais diversos setores sociais, surge a necessidade da educação matemática contribuir para a modificação desse quadro.  Assim, temos que buscar possibilidades para desenvolver propostas pedagógicas que integrem a etnomatemática e a modelagem matemática com atividades que sejam oriundas da temática ambiental.  Entendemos que a modelagem matemática através do programa etnomatemática é uma possibilidade pedagógica adequada tanto para o enfoque da questão ambiental quanto para o desenvolvimento de conteúdos matemáticos, no sentido de desenvolver nos alunos capacidades necessárias para o entendimento crítico da questão ambiental.  Em nosso dia-a-dia, os meios de comunicação divulgam costumeiramente questões de caráter ambiental, fornecendo-nos dados e estimativas.  As mais diversas propostas científicas para a solução desses problemas são divulgadas pela média, que se utiliza dos mais diversos modelos e instrumentais matemáticos.  Entretando, observamos que a escola ainda não incorporou nos seus procedimentos pedagógicos, a utilização de todo o instrumental matemático como possibilidade real para o tratamento da questão ambiental.

A Etnomatemática e a História da Matemática

Existem várias maneiras de olharmos para a História da Matemática do ponto de vista da educação matemática.  Em primeiro lugar, quando pretendemos estudar a História da Matemática, estamos olhando para a Matemática de outros povos e de outras culturas.  Neste contexto, é importante que olhemos para estas culturas com o objetivo de buscar satisfazer as suas próprias necessidades, e não como culturas que são“menos desenvolvidas” do que as culturas contemporâneas.  Se adotarmos este ponto de vista, poderemos nos beneficiar de uma oportunidade única de ver como culturas diferentes da nossa pensavam, e como a matemática delas era diferente da nossa matemática, por causa do contexto histórico no qual estas culturas estavam inseridas.

Os gregos antigos eram grandes pensadores.  No entanto, para Aristóteles e Platão, o número só podia ser número natural maior que zero.  Esta situação pode nos parecer estranha, mas só poderemos compreender as idéias que eles tinham se entendermos a maneira como eles conceituavam número e as razões por que o faziam dessa forma.  Da mesma forma, precisamos entender a cultura matemática de nossos alunos, isto é, porque eles pensam de uma determinada maneira, se quisermos compreender porque às vezes, eles têm dificuldade para assimilar certos conceitos que gostaríamos que eles compreendessem.  Assim, a História da Matemática, através de seus relatos históricos, pode nos fornecer elementos para que possamos promover uma integração de temas no ensino da matemática, interdisciplinando a matemática com a própria matemática.  Assim, podemos comparar a resolução algébrica para a solução de problemas geométricos, como faziam os babilônios; com os métodos geométricos para resolver de forma aproximada as equações algébricas, como faziam os matemáticos árabes da Idade Média.  Outro exemplo é a utilização da geometria analítica, na qual temos a integração de dois conteúdos matemáticos: a álgebra e a geometria, e também temos a integração de dois modos matemáticos de pensamento: o algébrico e o geométrico.

O estudo da História da Matemática nos oferece uma oportunidade única de entender a existência de diferentes culturas matemáticas e, portanto, nos oferece a chance de apreciar melhor os aspectos sociológicos da educação matemática, tão importantes no dia-a-dia da sala de aula.  Assim, se quisermos motivar os nossos alunos, poderemos apresentar problemas matemáticos interessantes, ou então, encontrar uma forma de encadear tópicos do conteúdo a ser trabalhado, com episódios da História da Matemática.  Como por exemplo, o problema de medir a distância da Terra à Lua, um problema enfrentado pelos antigos astrônomos e resolvido utilizando semelhança de triângulos, ou o problema de saber onde vai cair um objeto obliquamente lançado para o alto.  A atividade de trabalhar com problemas tirados dos relatos da História da Matemática faz com que os alunos possam buscar problemas relevantes em seu cotidiano, o que inclui a família, o bairro, os amigos, e talvez, a cidade, o Estado e o país, pois ao resolver esses problemas, os alunos compreender-se-ão como membros de uma cultura; assim como os personagens de outras culturas fizeram para solucionar os problemas que lhes eram apresentados.

Partindo do pressuposto de que todos os seres humanos vivem em culturas e que as matemáticas são produtos destas culturas, e que estão intimamente ligadas aos aspectos mais gerais das mesmas, para entendermos a matemática de um indivíduo, precisamos entender, na verdade a sua cultura matemática.  A matemática de uma determinada cultura é usada para agir sobre esta realidade, através da resolução de problemas e do reforço das formas do pensamento, buscando dessa forma o embasamento cultural.  Assim, a Matemática é dialética, pois é uma ferramenta cultural como também um produto cultural.

O estudo da História da Matemática pode propiciar, tanto a professores quanto a alunos, um entendimento mais claro dos aspectos sociológicos da educação matemática, além de propiciar um entendimento correto da matemática como um produto cultural, um corpo dinâmico do conhecimento e não como uma coleção estática de regras e métodos desvinculados do contexto sócio-cultural.  Dessa forma, se a História da Matemática for entendida como o processo de criação da matemática pode, também, nos oferecer muitas idéias a respeito da integração de temas na educação matemática.

A Etnomatemática e a Integração de Temas

A integração de temas ou a interdisciplinaridade tem pelo menos dois aspectos essenciais:

a) Caráter Técnico: pela integração de temas podemos oferecer aos alunos uma oportunidade mais ampla de entender os conceitos da Matemática.  Por exemplo, ao trabalharmos com trigonometria, é possível darmos um tratamento somente de aspecto geométrico ou um tratamento realizado somente a partir de funções.  Porém, é melhor que os dois aspectos sejam trabalhados simultaneamente, pois desta forma os alunos têm uma compreensão mais ampla do assunto e, em caso de dificuldade em empregar um dos tratamentos, pode recorrer ao outro, para conseguir uma melhor compreensão do objeto do estudo.

b) Caráter Geral: a matemática é uma coleção de regras e métodos que foram sendo construídos através de uma dinâmica cultural: vários conceitos foram sendo fundidos, reformulados e construídos simultanemente.  Assim, não é possível entendermos a geometria grega senão por oposição à aritmética grega.  O conceito de função foi algumas vezes entendido algebricamente e outras vezes em termos de pares ordenados, isto é, estes dois aspectos explicam através de pontos de vista diferentes, o conceito de função.  Em nossa perspectiva, uma boa forma de promover a integração de temas é a seguinte:

Os alunos são divididos em grupos e vão trabalhar com um problema.  Em vez de partirmos da idéia de exercício, no qual espera-se que os alunos apliquem a teoria que foi dada em aula, vamos dar a liberdade para que eles resolvam o problema como quiserem.  Dessa forma, diferentes soluções vão aparecer: um método geométrico, um método algébrico, um método gráfico ou um método numérico.  De posse de todo esse material, podemos trabalhar com os alunos as diferenças entre os métodos, as limitações e as virtudes de cada método, e também podemos trabalhar com o fato de que é possível que dois métodos diferentes forneçam aspectos diferentes sobre o conceito com qual os alunos estão trabalhando.

Trabalhar dessa forma apresenta várias vantagens:

a) O problema pode ser formulado pelos alunos a partir de situações reais de suas experiências.

b) Em vez de ensinar separadamente e depois tentar integrar os conteúdos, a integração acontece diretamente no processo de aprender, uma vez que uns vão estar aprendendo o método dos outros, ao mesmo tempo em que discutem todas as soluções apresentadas.

c) Esta é uma dinâmica extremamente agradável em sala de aula, na qual os alunos podem debater e participar ativamente.

Com a integração de temas, os alunos ampliam a visão que possuem da matemática e vão passar a percebê-la como um corpo dinâmico de conhecimentos e como um recurso didático importante, que lhes oferecerá oportunidade para melhor entender, produzir e aplicar os conhecimentos matemáticos.

A Etnomatemática e a Utilização de Material Concreto ou Material Manipulativo

O uso de material concreto ou manipulativo em sala de aula pode ser entendido de diversas maneiras.  Se estivermos trabalhando, por exemplo, com crianças pequenas, a teoria piagetiana do desenvolvimento intelectual diz que devemos trabalhar no “concreto”, pois, segundo o ponto de vista pedagógico nesta teoria, a criança até uma certa idade, por volta dos 13 ou 14 anos, não é capaz de “pensar” sobre coisas que não sejam representações mentais de objetos “concretos” com os quais ela teve contato em suas experiências.  Por este motivo, é de fundamental importância oferecer às crianças uma variedade de materiais concretos ou manipulativos.  Existem, portanto, outras maneiras de se interpretar a importância do uso de material concreto ou manipulativo.  Utilizando como exemplo a teoria piagetiana, se estivermos trabalhando com adolescentes, pode parecer que os objetos “concretos” não sejam tão importantes.  Porém, sabemos que na prática este tipo de material é de grande importância no ensino-aprendizagem.  Nossos alunos deve se utilizar destes materiais, pois, muitas vezes, os matemáticos, cientistas e pesquisadores também se utilizam de objetos de papelão, botões, tabuleiros e até mesmo, trabalham com imagens computadorizadas, para que consigam entender o objeto de estudo.  Segundo o psicólogo Bruner (1974), o primeiro passo quando estamos tentando entender um objeto é ver como este objeto funciona.  Para que isto ocorra, utilizamos os recursos concretos e os materiais manipulativos, para que possamos realizar as experimentações no concreto.  Dessa forma, vamos criando imagens mais claras dos objetos com que estamos trabalhando, e aos invés de trabalharmos somente com o concreto, começamos a elaborar representações escritas sobre o objeto e passamos a pensar principalmente através dessas representações, como se elas fossem os próprios objetos.  Esta seria a fase do icônico neste processo.  O passo final dá-se quando passamos a operar apenas com as representações e com as regras para manipular estas representações, ao abandonarmos os limites e as sugestões do concreto.  Esta seria a fase do simbólico.  Esta interpretação não se aplica apenas às crianças, pois todos nós procedemos dessa forma de um modo ou de outro.  Pode acontecer, também, que nos satisfaçamos somente em trabalhar apenas o icônico, ou mesmo, apenas o concreto.

As condições que determinam este tipo de trabalho são sociais; a escola ou as formas de conhecimento que uma cultura privilegia; ou nosso interesse mais imediato, se estamos trabalhando para resolver um problema; paramos na fase que nos permita resolver o problema, seja ela a fase concreta, icônica ou simbólica.  O que a teoria piagetiana diz, no entanto, é que além destes fatores, há fatores biológicos, isto é, ligados ao amadurecimento biológico da criança, que limitam a possibilidade de passagem de uma determinada fase; é neste sentido que, para a teoria piagetiana, a criança pequena não é capaz de passar para a fase icônica ao trabalhar com uma determinada situação.  Assim, não é uma tarefa fácil decidir qual teoria a seguir, pois, é apenas estudando e refletindo sobre a nossa experiência em sala de aula que estas decisões podem ser tomadas.

Há outros pontos muito importantes na utilização de materiais concretos ou manipulativos, e que não passam pelos aspectos psicológicos do ensino-aprendizagem. 

Dessa maneira, quando falamos de “concreto”, podemos estar nos referindo a uma situação-problema real, isto é, um problema cuja solução nos permite uma ação em nossa realidade, como é o caso de projetar um viaduto que não cairá.  Nesta situação, a importância do “concreto” está muito mais nos aspectos sociológicos que nos aspectos psicológicos da educação matemática.  Muito se discute sobre a importância e a necessidade de se entender a matemática como um produto cultural e, é nesta perspectiva, que podemos entender o uso de problemas reais e concretos.

Alguns educadores matemáticos dizem que o concreto somente deveria ser aplicado aos materiais manipuláveis.  Porém, esta visão não fornece a dimensão exata sobre a amplitude da noção de concreto.  Se por um lado, a idéia de manipulável corresponde à idéia de concreto, quando mencionamos a matemática pura e aplicada, estamos na realidade, fazendo referência a matemática aplicada aos problemas concretos.  Dessa maneira, a noção de concreto se opõe mais corretamente à noção de abstrato.  Nesse sentido, podemos entender o concreto como significando uma contextualização: quando trabalhamos com material manipulável, estamos trabalhando no contexto do que é possível fazer com aquele material, isto é, existe um contexto que os ajuda a entender o processo de manipular ou utilizar aquele material.  É deste ponto de vista que o problema de construir um viaduto é concreto: as forças que vão agir sobre o viaduto, não são meros números escritos num diagrama, mas são pesos reais, que inclui o peso do material com que o viaduto vai ser construído, e a própria construção do viaduto que vai ser vista como uma ação que vai modificar uma realidade.  Utilizar a matemática para resolver o problema do viaduto é apenas uma entre outras tantas possibilidades, se bem que uma possibilidade muito útil, especialmente no caso de construção de grandes viadutos.  Portanto, concreto pode referir-se à manipulável, mas também pode referir-se à contextualizado, e ambos os aspectos são importantes na educação matemática.

 

A Etnomatemática e a Utilização de Jogos

O mundo de toda a criança é uma realidade de jogos.  Desde os primeiros anos de vida, as crianças brincam, jogam e desempenham atividades lúdicas.  O jogo sempre fez parte do mundo infantil e adulto, sendo portanto, um dos elementos motivadores fundamentais para despertar o interesse das crianças, adolescentes e adultos, para o ensino-aprendizagem em matemática.  De posse desses conhecimentos, é tarefa do professor, explorar e adaptar situações do cotidiano dos educandos às situações escolares.  Porém, para que isto aconteça, é de suma importância que os professores dominem as idéias, os conceitos e os processos que deseja ensinar, para que os alunos possam ajudar a construir o seu próprio conhecimento matemático.  Muito mais do que isso, os professores devem ter consciência de que os jogos e as atividades que propuser são os meios que dispõe para atingir os seus propósitos e objetivos.  Dessa forma, a utilização de jogos na educação matemática também pode ser entendida por pontos de vista diferentes.  Uma forma de se entender o uso de jogos é através do aspecto lúdico, que desenvolve o desejo e o interesse do jogador pela própria ação do jogo e mantém o envolvimento na competição e no desafio, motivando o jogador a conhecer os seus limites e as suas possibilidades de superação destes limites, na busca pela vitória, adquirindo confiança e coragem  para arriscar.  Os jogos engajam os alunos em práticas pedagógicas motivadoras que são interessantes e desafiadoras pois permitem aos alunos ganharem ou não dos adversários ao completarem uma tarefa estrategicamente interessante. (Zaslavsky, 1996).  Esse aspecto pode ser bem entendido com a seguinte comparação: compare o envolvimento de um aluno que tem que resolver 20 exercícios de multiplicação de números inteiros positivos e negativos, com o envolvimento de um aluno que, jogando um jogo no computador, tem que resolver corretamente 50 questões do mesmo tipo para que possa vencer o computador.  Certamente, o aluno que está jogando contra o computador está muito mais motivado para realizar a tarefa.  É claro, que o jogo não precisa ser no computador; pode ser um jogo de tabuleiro ou de outro tipo qualquer.  A idéia primordial é que o aluno estará realizando o seu trabalho, ou seja, as questões de multiplicação, no contexto de uma atividade que também o está divertindo, e portanto, este aluno não ficaria entediado e desmotivado.

Uma outra forma de se entender o uso de jogos, é a possibilidade de fazer o aluno entrar em um mundo onde as coisas funcionam de maneiras bastante parecidas com os conteúdos que estamos pretendendo ensinar em matemática.  Por exemplo, se estamos querendo ensinar ao alunos a somar e a subtrair com números inteiros positivos e negativos, poderíamos utilizar um jogo do tipo “Banco Imobiliário”, que envolve dinheiro e dívidas, e no processo de jogar o jogo, os alunos vão desenvolvendo certas estratégias, que podem servir de base para uma futura formalização.  Porém, essa formalização nem sempre acontece de uma maneira simples, pois os jogos geralmente são construídos sem levar em consideração o elo existente entre o funcionamento destas duas situações de contexto muito diferentes.  Porém, quando utilizamos a notação usual para os números inteiros positivos e negativos, é possível que esta situação não seja mais interpretada como o jogo banco imobiliário e, dessa maneira, o conhecimento que o aluno havia construído enquanto jogava, pode não ser aplicado.  Uma situação semelhante acontece quando vemos crianças que vendem doces na rua e que são capazes de fazer todas as contas rapidamente e de cabeça e, quando chegam na escola, possuem enormes dificuldades para resolver os exercícios de subtração que lhes são apresentados.

Existem outras maneiras de utilização dos jogos como estratégia do ensino-aprendizagem em matemática em sala de aula:

a)      Os jogos são importantes para a compreensão da diferença entre regra e lei, dois aspectos importantes de nossas vidas diárias.

b)      Os jogos retirados do próprio cotidiano das crianças está ligado à noção etnomatemática e à idéia de que a matemática é produzida por uma determinada cultura, podendo transformá-la nesta dinâmica cultural.

A Etnomatemática do Jogo da Amarelinha

As crianças, ao redor do mundo, têm-se divertido muito desenhando os traçados da amarelinha nas calçadas, nas ruas, nos pátios dos recreios escolares, ou nos quintais e jardins das casas.  Os adultos também possuem na lembrança, os alegres momentos de lazer que tiveram, quando crianças, ao brincarem este jogo tradicional e popular.  Os diferentes traçados característicos da amarelinha podem ser riscados no chão com um pauzinho, um pedaço de telha, pedra ou giz.  Independentemente do traçado, a amarelinha é jogada sempre do mesmo modo, podendo haver variações na disposição dos jogadores e na realização das fases do jogo.  Para iniciar a brincadeira, as crianças, geralmente, escolhem uma pedrinha achatada e determinam a vez de cada jogador que jogam pela ordem determinadas em turnos sucessivos.  Durante a brincadeira, se os jogadores lançarem a pedrinha fora do traçado ou se eles pisarem na linha que demarca cada figura, eles perdem a vez e tem que esperar o próximo turno para recomeçar a jogada.

Breve Histórico do Jogo da Amarelinha

A brincadeira da amarelinha começou na antiga Bretanha durante o início do império Romano.  Originalmente, os bretães utilizavam uma quadra de 30,48 metros de comprimento para jogar amarelinha que fazia parte dos exercícios do treinamento militar.  Os soldados romanos vestidos com suas armaduras e munidos de suas mochilas e armas, corriam ao redor das quadras de amarelinha para melhorar os passos das marchas de guerra.  As crianças romanas desenhavam quadras de amarelinhas menores e semelhantes àquelas em que os soldados utilizavam como treinamento e desenvolveram um sistema de marcação de pontos que tornou o jogo mais interessante.

 

As ligações entre as cidades do império romano eram feitas por estradas pavimentadas com pedras com formatos quadrados que eram ideais para as crianças brincarem amarelinha.  Este fato contribuiu para que esta brincadeira fosse disseminada por todo o império romano.  Atualmente, a amarelinha é uma brincadeira popular e muitos países incluindo a China, a Rússia e a Índia.

A amarelinha recebe diferentes nomes em vários países como hopscotch nos Estados Unidos, marelles na França,  templehupfen na Alemanha, hinkelbaan na Holanda, ekaria dukaria na Índia, pico no Vietnã, rayuela na Argentina e one-leg jump na Indonésia.

Desenvolvimento da Atividade

O professor pode começar a atividade da amarelinha com as seguintes perguntas:

·        Alguém já brincou amarelinha?

·        Alguém já viu outra criança brincando amarelinha?

·        Descreva como você brinca ou joga amarelinha?

O professor iniciará uma discussão com as crianças sobre as questões propostas e deverá pedir para que elas façam um desenho da amarelinha que costumam brincar.  Em seguida, o professor solicitará  para que as crianças comentem sobre as similaridades e diferenças entre os desenhos que fizeram e deverá também, explorar as propriedades geométricas de cada figura.

O professor utilizará um giz para desenhar os passos do jogo da amarelinha no pátio da escola e solicitará às crianças que demonstrem como a amarelinha é jogada.  As crianças trocarão turnos para fazer esta demonstração.  O professor deverá, juntamente com as crianças e de comum acordo, criar uma regra para o jogo. As figuras geométricas que compõem a amarelinha devem ser numeradas de 1 a 9, 1 a 10, etc. Os professores deverão encorajar as crianças a brincarem amarelinha, introduzir variações no jogo, e criar passos diferentes para o jogo. Veja os seguintes exemplos:

·        Pular somente utilizando números pares (2, 4, 6, 8, 10) ou ímpares (1, 3, 5, 7, 9).

·        Pular os números pares somente com um pé e os números ímpares com os dois pés.

·        Se o professor achar necessário, introduzir a noção de números primos (2, 3, 5, 7).

·        Começar a brincadeira com o número 10 e pular os quadrados em ordem inversa (10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 10).

A amarelinha pode também ser utilizada para o reforçar algumas habilidades numéricas.  As seguintes atividades podem ser utilizadas:

·        O professor diz um número e pede para que a criança lance uma pedra achatada ou uma malha no quadrado que mostra o número que foi dito.

·        O professor mostra cartões com figuras que representem quantidades numéricas e pede para as crianças lançarem a pedra ou a malha no quadrado que mostre o número que foi mostrado.

·        O professor pede que as crianças trabalhem em pares.  Uma delas lança a pedra ou a malha sobre um quadrado e pede a outra criança que utilize dados para mostrar o número que foi selecionado.

Nesta atividade, as crianças irão relacionar palavras e símbolos que representem os números.  O professor entregará a cada criança uma cópia de um jogo de amarelinha (veja os anexos  1, 2 e 3) e pedirá para que as crianças recortem cada figura separadamente.  As crianças deverão corresponder os nomes dos números (em inglês e português) com os seus respectivos símbolos.  Esta é uma boa oportunidade para que os professores façam a introdução de números romanos e reforcem os conceitos de números pares, ímpares e primos.  O professor poderá utilizar o dado confeccionado anteriormente para que as crianças façam a correspondência entre os números  dos dados e os símbolos.

De acordo com Zaslavsky (1996), muitos dos jogos desenvolvem habilidades que estão relacionadas com a resolução de problemas requerendo que os alunos pensem em estratégias de resolução, pense nas deciões futuras para avaliar os movimentos que deverão ser realizados.  As crianças praticam conceitos de medidas e geometria, senso numérico, práticas de computação, probalbilidade e análise combinatória.  Neste contexto, a utilização de jogos no Programa Etnomatemática tem a sua importância como processo de ensino aprendizagem da matemática, pois se apresenta com formas e características próprias, propícias a dar compreensão para muitas estruturas matemáticas existentes e de difícil assimilação.  Nesse aspecto, considera-se o jogo como facilitador da aprendizagem, pois desenvolve no aluno sua capacidade de elaborar perguntas, buscar diferentes soluções, repensar situações, avaliar atitudes, elaborar estratégias, encontrar e reestruturar novas relações, arriscar soluções e validá-las, ou seja resolver problemas.  O reconhecimento cada vez maior da identidade cultural dos diversos povos que habitam o planeta tem uma influência muito grande nesta mudança de atitude, pois o ponto de vista etnomatemático é essencial para se compreender os processos da educação matemática.

A Etnomatemática e a Matemática Recreativa

Compreender, aprender e fazer matemática exige muito mais do que a aprendizagem de algoritmos e sua possível aplicação na resolução de uma situação-problema.  Dessa forma, uma proposta para o ensino-aprendizagem da matemática deve possibilitar a construção de conceitos através de situações significativas.  Assim, devemos elaborar atividades que destaquem as idéias e as representações matemáticas que estão presentes em outras fontes, além dos livros didáticos, dos textos informativos, das tabelas e dos gráficos.  Entendemos que a elaboração do conhecimento se dá na interação dos conceitos matemáticos com os não matemáticos e dos conceitos do cotidiano com os científicos, e, dessa maneira, a matemática escolar vai adquirindo significado.  Dessa forma, o trabalho com os conteúdos deve ser desenvolvido privilegiando o contato dos alunos com diferentes textos, escolares ou não, e também, com outras atividades que fazem parte de seu cotidiano.  Neste contexto, estaremos colaborando com o desenvolvimento de habilidades criativas, que são elementos indispensáveis para que as crianças possam superar os problemas e os desafios que são gerados pelo seu ambiente físico e social.

Para que isto ocorra, é extremamente importante a criatividade do professor de matemática.  Porém, os professores de matemática geralmente possuem uma acentuada tendência para o algebrismo árido e enfadonho quando abordam em suas aulas somente questões algébricas que exigem cálculos numéricos trabalhosos e demonstrações complicadas.  Assim, um grande número de educadores matemáticos não se preocupam em dar a matemática um tratamento elementar e intuitivo e não se utilizam de problemas práticos, interessantes e simples e nem da matemática experimental, para atingir estes objetivos.

Os professores devem ter consciência de que a matemática é um meio através do qual os alunos são levados a adquirir um estágio de compreensão, consciência e raciocínio, para que possam refletir e atuar sobre a realidade.  O objetivo do ensino é o homem; o objetivo da matemática é o homem e sua realização, sua integração com o universo que o rodeia, a tentativa da descoberta da razão de sua existência (Zaro; Hillebrand, 1990).

Infelizmente, a matemática está perdendo o seu lado filosófico.  Assim sendo, nos parece fundamental que o professor retire os alunos de sala de aula e os levem para observar o mundo que os cercam, o seu dia-a-dia; e comece a relacionar os conhecimentos matemáticos a esses acontecimentos.  Este relacionamento pode se dar  através de experimentos escolhidos sobre as observações efetuadas e que estejam de acordo com os conteúdos que devem ser abordados e desenvolvidos.

Consideramos como recreativa, a matemática que aborde os desafios, tais como quadrados mágicos, quebra-cabeças, adivinhações, problemas aparentemente contraditórios ou misteriosos, pois são sempre situações motivadoras para o seu ensino-aprendizagem.  Podemos considerar também que as curiosidades presentes em episódios da História da Matemática; a literatura infanto-juvenil, que contam lendas e fábulas, com vistas ao relacionamento do cotidiano dos alunos com os conteúdos matemáticos através da proposição de atividades de leitura; podem constituir fontes de motivação, que buscam o interesse dos alunos na construção e manutenção de seu conhecimento matemático.

Podemos considerar também como recreativos, os experimentos matemáticos através dos quais os alunos têm a possibilidade de manusear o objeto de estudo (material), de “construírem” os seus experimentos, de serem levados a formular explicações e tirarem conclusões, fatos esses, que certamente contribuirão para uma formação mais interessante, tanto no aspecto científico como no aspecto humano.  Dessa maneira, os estudantes têm o prazer da descoberta, fato que os tornarão intectualmente autônomos, capacitando-os a continuar o seu auto-aperfeiçoamento e habilitando-os a resolverem situações-problema que enfrentarão em seus cotidianos, dentro e fora da escola.

Modelagem Matemática e suas Aplicações no Ensino–Aprendizagem em Matemática

É impossível a tentativa de localizar no tempo e no espaço a primeira vez em que foram expressos os interesses e a preocupação em relação à modelagem matemática.  Entretanto, a modelagem matemática se manifesta desde os tempos mais remotos através de situações isoladas e pouco sistematizadas como a invenção da roda  pelos sumérios no ano 3000 a.C.  Podemos considerar esta invenção como um dos primeiros modelos matemáticos produzidos pela humanidade, pois quando ao observar um tronco de árvore rolando por um declive, surgiu a idéia de fazer rolar cargas muito pesadas, colocando-as sobre objetos rolantes, ao invés de carregá-las.  Essa manifestação da modelagem ocorreu também através dos grandes cientistas que produziram famosos modelos ao longo da história, como Eratóstenes (276-196 a.C) que criou um modelo matemático para medir a circunferência da Terra . Eratóstenes era natural de Cirene, mas viveu grande parte de sua juventude em Atenas.  Ele foi um atleta muito popular, destacando-se em várias modalidades esportivas.  Foi autor de muitos livros de Astronomia e geometria, escrevendo também poesias e textos para teatro.

A medida da Circunferência da Terra por Eratóstenes

Justificativa do Estudo

Uma das questões que desafiaram os matemáticos e os astrônomos da Antiguidade foi a determinação do tamanho do Sol e da Lua.  Porém, para chegar a essas medidas, era necessário conhecer o tamanho da circunferência da Terra.  Muitos matemáticos daquela época se dedicaram a medir Terra, mas foi Eratóstenes que fez a demonstração mais precisa e interessante.

Breve histórico

Se introduzirmos uma vareta num plano horizontal, durante o luz do sol, verificaremos que o tamanho da sombra projetada pela vareta apresenta variações.  No início da manhã, o comprimento da sombra é bem longo, e vai diminuindo, até atingir um ponto mínimo, para logo depois voltar a se alongar até o pôr-do-sol.  Chamamos de meio-dia o instante em que a sombra da vareta tem o menor ocomprimento.  Se medirmos a sombra ao meio-dia, durante vários dias sucessivos, veremos que ela varia.  Os povos mais antigos já tinham conhecimento de que quanto mais quente estivesse o clima, menor era a sombra do meio-dia.  Solstício de verão é o dia em que a sombra projetada pelo sol é mínima.  O solstício define o início do verão.  Da mesma forma, o início do inverno é definido pelo solstício de inverno, dia em que a sombra do meio-dia é máxima.  O termo solstício vem do latim e significa sol estático. 

Através da leitura de uma papiro, Eratóstenes descobriu que no dia 22 de Junho iria ocorrer o solstício de verão na cidade de Syene (Aswuan), às margens do Rio Nilo, no Egito. Assim,  nesse dia especial, ao meio-dia , o sol ficava completamente a pino.  Desse modo,uma vareta fincada verticalmente no solo não fazia nenhuma sombra nesse horário, na cidade de Alexandria e o sol poderia ser visto completamente refletido nas águas do Rio  Nilo, na cidade de Syene (Aswan).  Aproveitando-se desse fato, Eratóstenes dirigiu-se à cidade de Alexandria, aproximadamente no mesmo horário em que o sol ficava a pino em Syene (Aswan), e fincou uma vareta numa das praças da cidade.  A seguir, mediu o ângulo formado pela vareta e pelo segmento formado pela ponta da vareta com a extremidade da sombra.  Utilizando-se desse procedimento, ele conseguiu determinar que oa medida do ângulo é 1/50 da medida da circunferência da Terra.

Hipótese:

Sabemos que duas retas paralelas interceptadas por uma  reta transversal formam ângulos alternos internos e que esses ângulos são congruentes.  Dessa forma, podemos imaginar que as sombras projetadas por ambas as varetas colocadas nas duas cidades por Eratóstenes podem ser prolongadas até se encontrarem.  Assim, a linha traçada da vareta em Syene (Aswan) pode ser considerada paralela à linha imaginária traçada pela vareta em Alexandria, e a linha da sombra projetada pela vareta em Alexandria pode ser considerada como uma reta transversal entre essas duas retas. Conhecendo os valores dos ângulos e a distância entre Alexandria e Syene (Aswan), podemos determinar a medida da circunferência da Terra.

Modelo Matemático

          Eratóstenes dispunha dos seguintes dados:

·       C é o centro da Terra;

·       A vareta não forma sombra em Assuan;

·       a é o ângulo formado pela vareta e sua sombra em Alexandria; 

·                               b é o ângulo com vértice no centro da Terraprolongamentos das varetas fincadas

em Alexandria e Syene (Aswan).

·       O ângulo a tem medida igual a 1/50 da medida da circunferência da Terra.

Como os raios de sol são aproximadamente paralelos, as retas r e s são paralelas e os angulos a e b alternos internos.  Portanto, os ângulos a e b são congruentes.  Portanto:

ângulo a = ângulo b

Como o ângulo a media  1/50 de toda a circunferência da Terra, e  os ângulos a e b são iguais, a distância entre Syene (Aswan) e Alexandria também era 1/50 da circunferência da Terra.  Eratóstenes tinha conhecimento de que a distância aproximada entre Syene (Aswuan) e Alexandria era de 5,000 stadium.  Podemos estabelecer a seguinte equivalência entre stadium e quilômetros:

1 km = 6.3 stadium

Portanto, Eratóstenes concluiu que a circunferêrncia da Terra era aproximadamente igual a:

50 x 5,000 = 250,000 stadium.

Utilizando-se de uma proporção, podemos determinar essa distância em quilômetros:

Conclusão:

A grande façanha de Eratóstenes foi determinar a medida da circunferência da Terra, pois naquela época ele demonstrou que essa medida  era  de aproximadamente 40,000 km.  Medições efetuadas por equipamentos mais especializados determinam que esta medida é de 40,075 km.  Podemos perceber que a medida determinada por Eratóstenes há mais de 2,000 anos atrás possui uma margem de erro que é não muito relevante,  levando em consideração as condições tecnológicas da época.

Somente ao longo das duas últimas décadas, a modelagem matemática e mais particularmente, a pesquisa dentro dessa área, vem buscando a sua identidade, definindo os seus objetivos, establecendo a natureza e a potencialidade de seus métodos de investigação e os limites de seu campo de atuação social.

Podemos entender a modelagem matemática como um estudo de situações reais que utiliza a matemática como linguagem para a compreensão, simplificacão e resolução de problemas associados à realidade, objetivando uma possível previsão e modificação dessa realidade.  Dessa forma, a matemática é apenas um instrumento para atingir este objetivo.  Na modelagem matemática não existe a preocução com a questão dos pré-requisitos, pois ao se trabalhar com problemas retirados da realidade, os conteúdos matemáticos a serem desenvolvidos não são previamente conhecidos.

A modelagem matemática pode ser entendida como um novo paradigma da educação matemática que tem como objetivos principais desenvolver a criatividade a criticidade nos alunos para que eles possam enfrentar os desafios  propostos pelo mundo real.  Assim sendo, os alunos possuirão as ferramentas essenciais para inteferir nesta realidade, podendo transformá-la de modo a almejar o bem coletivo.  Entendemos que realidade é composta de fatos que colaboram para a percepção dos problemas reais e interfere na resolução desses problemas com o objetivo de melhorar a qualidade de vida da comunidade. Dessa maneira, o trabalho a ser desenvolvido é com relação ao aspecto social, conceitual e não mecânico da matemática, pois um mesmo problema pode ser solucionado de maneiras variadas.  Muitas vezes a solução que se procura para o problema requer outras formas de conhecimento que devem ser relacionados com outras  areas do conhecimento humano, o que implementará de modo eficaz o estudo interdisciplinar.

Entendemos que modelar o mundo real para o mundo matemático é fazer a abstração do primeiro e relacioná-lo com o segundo.   Dessa forma, se a  validação  da solução matemática não satisfaz os dados experimentais que foram obtidos no mundo real, modificações devem ser efetuadas no mundo matemático, de modo que o modelo matemático que se propõe represente de maneira satisfatória a realidade.  Assim, formamos o seguinte ciclo:

O Ciclo da Modelagem Matemática

O problema fundamental da aplicação da matemática pela modelagem matemática não é uma questão de conhecimento matemático, mas primeiramente uma questão da estrutura da mente e da maneira de pensar.

Modelagem Matemática como Metodologia de Ensino

Aprender matemática não significa receber todos os conceitos prontos, pois, a aprendizagem em matemática refere-se a um trabalho de pensamento de cada indivíduo para a construção desses conceitos.  Assim, deve-se colocar novas situações-problema com base nos conceitos que foram construídos anteriormente, para a generalização, para a estruturação ou desestrutração do universo matemático, com vistas à compreensão e resolução de problemas, que podem ser matemáticos ou relacionados a realidade de cada indivídulo.  Para isso, a atividade intelectual do aluno deve, quando possível, aproximar-se daquela feitas pelos matemáticos ou cientistas, ao longo de nossa história, ou seja, partindo de uma situação-problema, colocando suas hipóteses, testando-as, corrigindo-as, fazendo transferências e generalizando.  Não podemos aceitar que a atividade intelectual do aluno seja baseada exclusivamente na memorização e na aplicação de conhecimentos, cujo verdadeira significado ou sentido não foi apropriado pelo aluno.

A concepção etnomatemática do professor no ensino–aprendizagem em matemática é a de mediador da aprendizagem, sendo portanto, uma tarefa muito mais ampla do que um simples “doador” do saber.  A concepção etnomatemática do aluno nesta abordagem é a de colaborador ativo do processo de aprendizagem, tarefa muito mais estimulante do que um simples “receptor” do saber.  Porém, os alunos não farão tudo sozinhos, pois precisamos organizar situações de aprendizagem que os levem à formação de conceitos, que os desafiem a procurar respostas, que dê condições para que eles se envolvam com a matemática, para que possam desafiá-la, compreendê-la e interpretá-la, tornando-a dessa forma um produto da criação humana.

Reincorporando a historicidade dos conceitos matemáticos pela Etnomatemática, refletindo sobre os processos pelos quais eles foram elaborados e demonstrando como eles se desenvolveram, devemos a partir deste momento, mostrar a presença da matemática no cotidiano de cada aluno e nos processos de desenvolvimento da humanidade, para que ela possa ser concreta, com sentido e significado, surgindo dessa maneira a motivação necessária para aprendê-la.  Dessa maneira, a matemática passa a ter como objetivo a busca de explicações e maneiras de se lidar com a realidade.  Assim, refletir sobre a nossa realidade passa a ser uma ação transformadora que procura reduzir o seu grau de complexidade, através da escolha de um sistema que possa representá-la.  Esse sistema isolado, nos permite chegar a representações dessa realidade, elaborando estratégias que nos possibitem explicar, entender, manejar, refletir e analisar sobre este sistema.  Este processo no qual se considera, analisa e faz reflexões sobre um sistema chama-se modelagem.  As aplicações da modelagem se faz sempre através da realidade na qual o sistema que originou o modelo no qual efetuaremos análises e reflexões, está inserido.  Devemos nos conscientizar que com a modelagem iremos trabalhar com aproximações da realidade sobre a qual estamos construindo as nossas representações.  Porém, para que isto ocorra, é necessário que se faça pesquisas onde se estabeleça relações entre os sistemas e suas representações, através da análises e reflexões sobre os modelos, orientando-nos em nessa prática pedagógica.

A aprendizagem do aluno somente se torna realidade à medida que são incorporados os conhecimentos e conceitos matemáticos que serão essenciais para colaborar em sua atuação futura na sociedade, através da proposição de uma atividade pedagógica significativa e motivadora.  Porém, essa incorporação não se dá com a simples adesão do professor ao trabalho proposto, pois  esse programa tem por objetivo contribuir para a reflexão do aluno e para a comparação da sua própria experiência e realidade.  A modelagem pode ser uma metodologia de ensino muito útil e se enquadra no programa etnomatemática, que inclui crítica, também a natureza histórica, sobre representações, que deve estar sempre subjacente ao processo de modelagem (D’Ambrosio, 1993).

O envolvimento do aluno no Programa Etnomatemática requer uma ação transformadora em seu íntimo e esta ação se manifesta quando se formulam questões e se estimulam respostas, pois elas podem instigar o aparecimento da investigação e consequentemente da modelagem, conectando os alunos com o conteúdo matemático que queremos que eles aprendam.  Porém, este relacionamento não se configura no conteúdo, pois osa alunos se envolvem na questão quando eles percebem que o que estão fazendo tem algum significado para eles e, se esse significado se incorparar em seu íntimo, venceremos os obstáculos para que ocorra definitivamente esse envolvimento.  Contudo, é essencial que auxiliemos os nossos alunos para que eles possam desenvolver determinadas atitudes e habilidades para o reconhecimento e a colocação de questões para eles mesmos.  Dessa forma, devemos trabalhar com condições facilitadoras do envolvimento, tornando-o acessível aos alunos; deixando o ambiente propício ao diálogo, reduzindo as pressões para que as respostas sejam sempre corretas e ouvindo as suas argumentações; num clima em que os erros que possam surgir também façam parte desse processo de ensino-aprendizagem.  Uma vez iniciados estes questionamentos, a modelagem se torna significativa e bons modelos podem ser elaborados e demonstrados.  Dessa forma, os alunos podem aprender muito, com a aplicação da modelagem como metodologia de ensino e da etnomatemática como prática pedagógica.

Dessa forma, a modelagem pode produzir e desenvolver modelos que serão úteis para atuarem nos sistemas, podendo modificá-los através da tomada de decisão, após as devidas reflexões, discussões, análises e conclusão sobre os modelos apresentados.

Levando em consideração que todas os alunos são potencialmente ativos e que estão construindo significados que são retirados diariamente de sua realidade, não podemos desperdiçar essa energia e devemos canalizá-la para a elaboração das estruturas necessárias à construção do conhecimento matemático que queremos que eles dominem.

A Modelagem Matemática é o estudo de problemas ou situações reais como linguagem para a sua compreensão, simplificação e resolução com vistas para uma possível previsão ou modificação do objeto estudado (Bassanezi, 1994).  A Modelagem Matemática como estratégia de ensino aprendizagem da matemática mostra-se eficaz pois valoriza o conhecimento e incentiva a atuação social dos alunos, enquanto que a Etnomatemática como Ação Pedagógica nos revela as potencialidades do ensino da matemática utilizando a modelagem como uma metodologia eficiente neste programa.  Neste tipo de trabalho, a matemática passa a ser uma disciplina instrumental que deve ser adequadamente utilizada e desenvolvida com a utilização dos questionamentos e das inquietações que fazem parte do ambiente natural no qual os alunos estão inseridos.

A principal finalidade deste processo é desenvolver a capacidade de analisar e interpretar dados, testar hipóteses formuladas, criar modelos e verificar se eles são eficazes; dando condições para que os alunos possam entender um fenômeno e tenham condições de atuar para a sua transformação.  Partindo deste princípio, a matemática deve ser vista como uma disciplina dinâmica em que o seu estudo tem uma importância fundamental, pois quando analisamos uma situação do ponto de vista matemático, o processo de ensino-aprendizagem é desencadeado, estimulando a abstração, a criação de novos instrumentos matemáticos e a formulação de novas teorias.  Assim, a única maneira que temos de conduzir os alunos para a modelagem matemática, é expô-los a uma ampla variedade de problemas e a uma ampla variedade de modelos, que são interpretações matemáticas dos problemas, que por sua vez, são representações dos sistemas estudados.

A grande maioria das questões matemáticas são utilizadas para explicar ou fazer previsões sobre fenômenos que fazem parte de realidades e culturas diferentes; sendo utilizadas na representação destas situações e também para a a formulação dos modelos matemáticos necessários à sua compreensão.  Porém, um modelo não significa somente um conjunto de variáveis que fazem representações qualitativas ou quantitativas sobre o sistema que será analisado.  Assim, os modelos não são exatos.  Então, devemos explorar todos os detalhes do modelo, examinando as hipóteses, checando as precisões, efetuando os ajustes necessários que tornem o modelo adequado e fazendo as previsões que consigam validar as hipóiteses.  Não devemos abandonar os modelos porque eles são aproximados, pois em cada modelo encontramos um caminho para chegarmos a uma previsão e tomarmos uma decisão na melhoria do sistema abordado.

Podemos estabelecer uma diferença entre o substantivo modelo e o verbo modelar e como o relacionamento da palavra aprender entre eles é de suma importância.  Considerando essas relções, podemos concluir que aprender um modelo consiste somente em aplicar as técnicas necessárias para solucionar os problemas matemáticos encontrados nos sistemas enquanto que aprender a modelar é um processo que procura verificar se os parâmetros que foram selecionados para a resolução dos modelos são adequados e como ocorre as implicações no interrelacionamento das seleções efetuadas nos sistemas com o estudo holístico da realidade.  Não é possível explicar, conhecer, entender, manejar, lidar com a realidade fora do contexto holístico.  Tem-se não mais que visões parciais e incompletas da realidade (D’Ambrosio, 1993).  Dessa forma, não devemos confundir modelagem matemática com teorias ou técnicas para resolução de modelos matemáticos, pois estas podem ser memorizadas, aprendidas e posteriormente esquecidas, evitando dessa forma o desafio conceitual, o raciocínio lógico e crítico, que são essênciais ao processo de modelagem.

Modelagem Matemática: Uma Ferramenta para a Etnomatemática

Convém salientar que muitas vezes os dados obtidos na modelagem matemática são de natureza essencialmente etnomatemática., provenientes dos costumes de uma comunidade que os utiliza sem qualquer precoupação com a cientificidade de sua origem (Bassanezzi, 1994).

Existem dez passos básicos para começar a documentação em etnomatemática. Esta ferramenta funciona para a criação de um banco de dados ou arquivo de atividades que podem ser utilizadas numa perspectiva etnomatemática. Isto também nos permite verificar se uma certa atividade é etnomatemática em natura.

Os passos para se fazer modelagem matemática numa perspectiva etnomatemática são:

1) Escolha do Tema: há necessidade de se realizar o levantamento de possíveis temas de estudo a serem desenvolvidos pelos alunos. Estes temas podem ser: setores de produção, situações econômicas, políticas, sociedade, agricultura, educação, artes, saúde, etc ou podem ter origem etnomatemática. Os temas devem ser abrangentes para que eles possam propiciar questionamentos em várias direções. Uma vez selecionado o tema, os alunos são divididos em grupos que possuem o mesmo interesse de pesquisa. A escolha do tema deve ser orientado pelo professor, pois é importante que os alunos se envolvam no processo e se sintam motivados pelos temas e problemas que serão levantados. Tendo escolhido o tema, não se tem a noção exata do tipo de matemática que vai surgir. Assim, deve-se fazer pesquisas, contar ou medir, pois sempre aparecerá uma tabela de dados para que se possa dar início ao processo de modelagem.

2) Pesquisa sobre o tema: os participantes do grupo devem fazer visitas a vários locais como museus, indústrias, cooperativas, laboratórios, fazendas, universidades, bibliotecas, jornais e revistas, órgãos públicos, de acordo com as necessidades do tema escolhido, para buscar o entendimento do tema que irão estudar. A busca de novas informações devem ser realizadas utilizando-se referências bibliográficas colhidas em livros, revistas, internet, entrevistas ou através de experiências vivenciadas por culturas específicas. A pesquisa tem como objetivo a coleta de dados quantitativos e qualitativos que possam auxiliar na formulação das hipóteses. Estes conhecimentos devem ser analisados e interpretados como preparação dos modelos matemáticos que podem ou não ser baseados nas maneiras de se fazer matemática de determinados grupos culturais.

3) Elaboração de Questionamentos: os questionamentos propostos inicialmente pelos alunos são retirados das situações pesquisadas. São questões diretas cujas formulações são equivalentes aos conteúdos matemáticos que eles conhecem. De uma maneira geral, as primeiras questões colocadas são bastante simples, podendo ser solucionadas com a utilização de uma matemática considerada elementar. Inicialmente, essas questões não enfatizam a necessidade de se conhecer como as questões foram formuladas, o que foi considerado, rejeitado, e qual o relacionamento da questão com o tema. Existirá nesta fase, uma espécie de inibição para questionamentos maiores. Assim, a partir destes primeiros questionamentos, começa a ser feita uma ampliação das idéias que envolverão os alunos na procura de generalizações e analogias com situações correlatas.

4) Elaboracão dos Modelos Matemáticos: por sua natureza conceitual e abstrata, este estágio é muito importante, pois os alunos necessitam de grande ajuda do professor. Procede-se a interpretação dos dados colhidos na pesquisa de campo, sistematiza a coleta e analisa os dados. Nesta etapa elaboram-se questionários que serão utilizados como métodos específicos de amostragem. Posteriormente, efetua-se uma análise das relações entre as variáveis que são consideradas essenciais para o entendimento do fenômeno estudado, formulando as hipóteses, estabelendo desta forma os modelos matemáticos que usualmente são elaborados com a formulação de certos conteúdos matemáticos. Neste estágio, os pré-requisitos matemáticos devem ser trabalhados durante todo o processo. Se o modelo que está sendo analisado é para o aprendizado de um novo conteúdo matemático, é necessário que os alunos saibam o que se pretende com a análise do modelo, descrevendo todas as características que são importantes. Deve-se indicar também o porque certas características foram consideradas e outras foram rejeitadas. Esse procedimento é um aspecto conceitual importante do processo de modelagem, pois tem como objetivo desenvolver a criação de uma imagem mental da situação que está sendo modelada. Este aspecto permite aos alunos experienciá-la mentalmente, internalizando os conceitos necessários à aprendizagem.

5) Formulação dos Problemas Matemáticos: a formulação dos problemas matemáticos devem surgir em consequência de uma série de exemplos analisados pelo professor. O professor deve auxiliar os alunos no entendimento das questões relacionadas ao tema de pesquisa para serem resolvidos. O papel do professor é de mediador do processo, pois esclarece as dúvidas e sugere abordagens diferenciadas ao tema de estudo, num processo dialógico. Todos os questionamentos devem partir do grupo. O professor deve dinamizar o processo. Se as questões não surgirem, ele deve buscar um caminho que induza os alunos a buscarem os seus próprios problemas. A transferência da relação verbal (linguagem materna) em simbologia matemática é uma tarefa que exige um grande esforço por parte dos alunos. O professor deve dar uma atenção cuidadosa para a simbologia que os alunos conhecem, principalmente com relação aos símbolos padronizados, aos parâmetros ou para os dados fornecidos, direcionando os alunos para a formulação dos problemas matemáticos. A formulação de um problema em termos matemáticos é sempre o estágio mais difícil da modelagem. Esta fase deve ser enfrentada com o auxílio do professor e também com a criatividade dos alunos.

6) Resolução dos Problemas Matemáticos: esta fase é importante pois conduz para a tomada de decisão, e merece atenção especial, dada a sua importância no processo. Algumas vezes, o problema não precisa ser solucionado com exatidão. Assim, as suposições ou aproximações são frequentes e necessárias na resolução dos problemas. Devemos ser cuidadosos em não antecipar as dificuldades matemáticas que alunos possam ter, deixando que elas fluam naturalmente. É importante que não enfatizemos a resolução dos modelos matemáticos em torno de uma técnica particular ou de uma teoria específica. Nesta fase, os conceitos matemáticos que foram identificados na solução dos modelos matemáticos devem ser sistematizados.

7) Interpretação da Solução: as discussões devem ser incentivadas e constantes para que os componentes do grupo possam atingir o mesmo grau de compreensão na interpretação da solução dos modelos matemáticos. Os grupos devem trabalhar em seus projetos independentemente. O professor funciona como monitor dos grupos e quando constata problemas comuns e de interesse de todos os grupos, deve propor uma aula coletiva abordando o conteúdo necessário. A interpretação da solução matemática envolve a volta aos conceitos matemáticos que estão relacionados ao problema. A interpretação pode ser realizada de maneira analítica, gráfica ou algébrica.

8) Comparação do Modelo com a Realidade: nesta fase, faz-se a comparação do modelo matemático com o sistema analisado. A validação dos modelos deve ser o mais coerente possível com a realidade pesquisada. Se porventura o modelo não for bom, o sistema deve ser retomado com a elaboração de modelos mais significativos ou, se necessário, novas pesquisas devem ser efetuadas, tornando assim o processo dinâmico. Se o modelo for satisfatório, devemos procurar utilizá-lo para fazer previsões, análises ou qualquer outra forma de ação sobre a realidade. Um modelo é considerado bom se sua capacidade de previsão valida a solução do problema quando confrontado com a realidade.

9) Relatório e Defesa do Tema: no final de cada etapa, os grupos devem expôr os resultados da pesquisa para a classe, que pode colaborar com sugestões para a continuação ou modificação dos modelos.  No final do processo, o trabalho deve ser exposto numa espécie de defesa de tese e cada grupo deve apresentar um relatório final onde devem constar os modelos criados para cada questionamento, as hipóteses e as devidas conclusões.

10) Avaliação: na apresentação e defesa do tema, os participantes dos demais grupos devem agir como uma espécie de banca examinadora. Este momento é importante, pois acontece a troca de experiências e críticas com o propósito da melhoria do projeto. Cada grupo é avaliado pelo seu desempenho e cada aluno é avaliado pelos elementos dos grupos, além da auto-avaliação. O professor também avalia as apresentações e os relatórios apresentados pelos grupos.

A Metodologia

Como metodologia de ensino, a modelagem matemática tem outros importantes objetivos. O principal deles é o desenvolvimento do interesse pela pesquisa dos dados que elaborará a documentação dos apectos etnomatemáticos de determinada comunidade ou grupo cultural. Esta pesquisa pode ser realizada através de uma atividade que seja atraente e que se relacione aos costumes dos alunos (modeladores). O modelador aprende a "fazer" matemática na medida em que faz e refaz os seus modelos, melhorando-os. O jogador de futebol atua como "modelador" pois aprende a jogar na medida em que treina e retreina as jogadas. Este processo é extremamente ativo e é uma poderosa forma de pesquisa. Isto significa que o desenvolvimento futuro de habilidades relacionadas com as pesquisas, classificações, criações e relatos de novas formas de levantamento de dados e informações devem utilizar este paradigma científico, pois a análise e a reflexão dos resultados dos modelos matemáticos traduzem situações que são interpretadas no mundo real. A aceitação do programa etnomatemática nas escolas somente ocorrerá se conseguimos fazer a conexão deste programa com alguns objetivos encontrados nos guias curriculares escolares, como por exemplo:

·         A inclusão de novas formas de aprendizagem do conteúdo no planejamento.

·         O encorajamento do aluno pesquisador na procura de estratégias alternativas.

·         O estímulo para a colaboração com o trabalho em grupo.

·         Preparar e desenvolver no aluno uma capacidade de aprendizado que seja útil num processo de educação permanente.

·         Desenvolver nos alunos capacidades que os habilitem a refletir criticamente.

·         Desenvolver nos educandos habilidades como: incentivo a leitura, a capacidade crítica, e também habilidades específicas de comportamento durante situações de insegurança, que são constantes em nossa vida diária.

Roteiro de Trabalho para a Aplicação da Modelagem Matemática em Sala de Aula

É extramente importante que os alunos compreendam a necessidade de seguir um roteiro de trabalho para a realização da pesquisa em modelagem matemática.  Cada etapa é importante para a implementação e conclusão do projeto.  Dessa forma, o trabalho de acompanhamento e orientaçao dos alunos pelo professor é de fundamental importância.  Assim sendo, as principais etapas a serem seguidas são as seguintes:

·        Escolha do tema.

·        Justificativa da escolha do tema.

·        Objetivos principais e específicos inerentes ao tema.

·        Breve histórico sobre aspectos curiosos, importantes e interessantes, relacionados ao tema.

·        Questão central ou questão orientadora que aborde de maneira geral o tema.

·        Aspectos matemáticos relevantes para responder a questão central.

·        Formulação do problema, com o levantamento de hipóteses e variáveis.

·        Possíveis modelos matemáticos relacionados ao tema.

·        Solução dos modelos matemáticos propostos.

·        Validação ou teste do modelo matemático.

·        Busca das informações ( internet, museus, bibliotecas).

·        Arquivo das informações (filmagem, gravação, digitação).

·        Metodologia e estratégia para desenvolver a pesquisa (entrevistas diretas, visitas às indústrias e estabelecimentos públicos).

·        Cronograma de trabalho, com a indicação do tempo previsto para a realização de cada etapa.

·        Conclusão ou Parecer sobre o processo (etapas inicial, intermediária e final).

·        Bibliografia e Referências bibliográficas.

Assim, a modelagem matemática fundamenta-se na ampliação da autonomia do aluno e na aproximação da sua realidade com a matemática, propiciando a leitura e a ampliação da visão de mundo e o desenvolvimento do pensamento autônimo , contribuindo para o exercício pleno da cidadania.  Podemos afirmar que a etnomatemática como programa de ação pedagógica e a modelagem matemática como metodologia de ensino está construindo o seu espaço de ação, impondo-se de  modo sério, sistemático e abrangente.  Este program procura refletir sobre as experiências e acontecimentos culturais e sociais, procurando compreendê-los e interpretá-los, tecendo conexões com a realidade que dão legitimidade à ação pedagógica.  Com este procedimento, este programa atribui siginificados que esclarecem o contexto sócio-cultural, situando-o na história e permitindo uma ação que refletirá uma intelectualidade autônoma e transformadora.  A meta desse programa é levar  à comunidade de educadores matemáticos, o conhecimento que está sendo construído nessa área, para que em conjunto todos possamos participar da construção do saber matemático dos nossos alunos.

Exemplos práticos de aplicação da modelagem matemática

Modelagem Matemática e o Planeta Terra

Introdução

A Terra é o terceiro planeta em distância a partir do Sol e o quinto em diâmetro do sistema solar.  Possui um satélite natural, a Lua.  Formada há cerca de 4,6 bilhões de anos, é o único planeta que dispõe de grande quantidade de oxigênio na atmosfera.  Em rela ção à distância ao Sol, ocupa posição privilegiada quanto à temperatura, o que facilita a evolução da vida.  Por causa da grande presen a da água, o planeta tem o aspecto de um globo azulado.  A Terra é formada basicamente por quatro camadas: crosta, manto, núcleo e núcleo interno.  Possui o movimento de rota ção em torno de seu pr›prio eixo, no sentido leste-oeste com dura ção de cerca 23h56min4s.  O movimento de translação é feito ao redor do Sol e tem a dura ção de 365dias5h48min45,97s, e origina o ano.

A Terra é azul

"A Terra é azul" foi a frase emocionada dita pelo astronauta Yuri Gagarin em 1961, quando vislumbrou do interior de sua nave, a esfera Terra, solta no espaço, na primeira viagem espacial tripulada e comandada pela União Soviética.  Se ao invés do comentário sobre a cor do planeta, ele tivesse dito " A Terra é arredondada” não estaria afirmando nenhuma novidade para o século XX.  Porém, causaria muito espanto se tivesse dito esta frase na antiguidade, aos babilônios, egípcios ou hindus, pois para esses povos e para muitos outros, a idéia que faziam da Terra era bastante diferente e variável.

Para os babilônios, a Terra era uma montanha oca, sustentada e rodeada pelo mar.  Em seu interior situava-se o reino dos mortos.  O Sol, a Lua e as estrelas se moviam num sólido firmamento que estava inserido num arco sobre a Terra.

Os egípcios imaginaram a Terra como o deus Keb reclinado, coberto de vegetação e o céu como uma deusa graciosamente encurvada e sustentada no alto pelo deus da atmosfera.  O deus Sol era dois barcos que navegavam diariamente pelo firmamento até penetrar na noite da morte.

Os hindus tinham várias visões diferentes sobre a Terra.  Uma de suas tribos acreditava que a Terra era sustentada por elefantes, cujos movimentos causavam terremotos.  Os elefantes ficavam sobre uma tartaruga, encarnação do Deus Vixnu, o qual descansava sobre uma cobra, símbolo da água. 

A hipótese de que a Terra e os demais corpos celestes são esféricos e se movimentam em órbitas circulares foi levantada pelo grego Pitágoras e pelos pitagóricos no século VI a.C..  No início do século XVII, Galileu Galilei (1564-1642) pôs em dúvida a hipótese da esferecidade da Terra.  No final deste mesmo século, Newton (1641-1726) afirmava que a Terra era achatada nos polos e não perfeitamente esférica, como os grandes cientista imaginavam.

A esfera

A esfera é um sólido presente na história do homem desde os tempos mais remotos.  Por volta do ano 2600 antes de Cristo, os chineses jogavam o "kemari", praticado com uma bola de fibra de bambu.  Na literatura grega e romana, há referências sobre jogos com bolas feitas com bexigas de boi infladas que divertiam os jovens da época.  Na Grécia antiga os jogos eram chamados "epyskiros" e no Império Romano "harpastum".  Na Idade Média, os habitantes da Floren a na Itália, praticavam o "gioco del calcio" chutando uma bola pelas ruas.  O mesmo fazem os ingleses no "Shrovetide" festa que relembra a explusão dos dinamarqueses da Inglaterra, ocorrida no século XII.

Arquimedes, um geômetra grego que viveu em Siracusa no período de 287-212 antes de Cristo, pediu que fosse esculpida em seu túmulo uma representação de uma esfera inscrita num cilindro reto. Dentre todos os modelos matemáticos presentes em sua vasta obra , ele dizia preferir o tratato "Sobre a esfera e o cilindro."

O orador e filósofo romano Marcus Tullius Cícero que viveu no período de 106-43 antes de cristo, encontrou o túmulo abandonado de Arquimedes na Sicilia e proferiu estas palavras:

Ali, entre os arbustos, na campina de Siracusa, encontrava-se uma        pequena coluna, encimada por uma esfera, inscrita em um cilindro.              A epígrafe estava quase apagada mas, eu sabia que aquela escultura devia estar sobre a tumba de Arquimedes.

O cilindro e o cone podem ser obtidos através de moldes feitos em uma folha de papel, ou seja, eles podem ser planificados.  A esfera, porém, não pode ser assim obtida, pois não pode ser planificada.  Essa é uma das evidências da dificuldade de se reproduzir num mapa, as regiões do globo terrestre.

A esfera pode ser gerada pela rotação completa de um semi-círculo em torno do diâmetro.  Nesse movimento, cada ponto do semi-círculo descreve uma circunferência que tem por centro um ponto do diâmetro AB e cujo raio é tanto maior quanto maior é a sua distância do eixo.  Da forma como é gerada, todos os pontos da superfície esférica são igualmente distantes do centro O da esfera.

Vamos abandonar esta imensa esfera terrestre e tomemos por base um minúsculo planeta esférico de nome "Zilia", habitado por um único habitante chamado "Zil", semelhante ao idealizado por Exupèry, em sua obra prima "O Pequeno Príncipe".  Neste planeta, existem também uma rosa que é a paixão de "Zil", e um vulcão que precisa ser revolvido de tempos em tempos.

Nos livros que "Zil" importou do planeta Terra, ele aprendeu que, num plano, a reta é o caminho mais curto entre dois pontos.

Modelo Matemático

Hipótese: De acordo com a geometria tradicional (euclidiana), numa superfície plana, a reta é a distância mais curta entre dois pontos.  Considerando, para efeitos didáticos e pedagógicos que a forma do planeta Terra é perfeitamente esférica, será a reta a distância mais curta tomada entre dois pontos quaisquer sobre a superfície terrestre?

Dessa maneira, querendo passar da teoria à prática,"Zil" resolveu marcar de algum modo, o caminho mais curto, que o levasse diariamente, de sua casa até a rosa.  Utilizando-se de pregos trazidos do planeta Terra, que pareciam enormes em "Zilia", "Zil" esticou um pedaço de barbante, de sua casa ao canteiro da rosa, esperando obter uma reta, idêntica às retas que vira desenhadas em seus livros de geometria.  Chegando até a rosa, "Zil" lembrou-se de ter lido também que a reta podia ser prolongada infinitamente e isto deixou-o intrigado, pois ficou imaginando o que haveria no "infinito" de seu planeta.  Dessa forma, ele amarrou o barbante no prego que ficava no canteiro da rosa e esticando o barbante que sobrou, continuou andando em linha reta o caminho que o levasse de volta à sua casa.  Após algum tempo, para a surpresa de "Zil", ele estava de volta à sua própria casa.  "Zil" observou que levara menos tempo do canteiro da rosa à sua casa, do que de sua casa ao canteiro da rosa.  "Zil" ficou momentaneamente confuso e sem resposta, pois começou a se questionar sobre o que tinha aprendido nos livros de que a reta é o menor caminho a ser percorrido entre dois pontos.

Com a curiosidade aguçada sobre este questionamento, "Zil" não desistiu de seu intento e no dia seguinte começou a elaborar outro caminho.  Ele procedeu da seguinte maneira:

a) Foi de sua casa ao canteiro da rosa utilizando o caminho de volta do dia anterior, que tinha sido o mais curto.

b)Chegando ao canteiro da rosa caminhou na direção do vulcão.

c)Chegando ao vulcão caminhou de volta para a casa.

Enquanto fazia estes trajetos "Zil" pensou que tinha feito um trajeto parecido com os triângulos que tinha estudado nos livros.

Havia muitos recantos interessantes e bonitos no pequeno planeta "Zilia" e a cada passeio que "Zil" fazia, ele registrava esses caminhos marcando-os com barbantes.

Um dia, surgiu um cometa em seu planeta e "Zil" de carona na cauda do cometa, começou a passear no espaço, indo para outros mundos.   Este dia foi muito especial, pois finalmente poderia ver o seu planeta do alto, enfeitado de retas, triângulos e outras figuras que ele fizera com os barbantes.

"Zil" porém ficou muito surpreso com o que viu, pois no lugar de retas havia cørculos e arcos de circunferência.  O triângulo que ele viu era diferente dos que estavam desenhados nos livros, pois não tinham os lados retos.

Assim, ele começou a se questionar sobre o que estava acontecendo com a geometria de seu planeta.  Ansioso e querendo compreender o que estava acontecendo, o cometa levou "Zil" mais uma vez ao planeta Terra.  Como "Zil" era de outro planeta, ele conseguia ver o que era imaginário e conseguia descobrir coisas incríveis.  Dessa forma, diferentemente das outras vezes, "Zil" resolveu prestar atenção nas linhas que os homens chamavam de linhas imaginárias.

"Zil" compreendeu que as linhas imaginárias eram círculos de raios variáveis e de mesmo centro, ou melhor, de mesmos centros, pois os pontos N, situado no Polo Norte e S situado no Polo Sul, poderiam ser centros de tais círculos, uma vez que todos os pontos de cada círculo possuem a mesma distância de N e de S.  "Zil" descobriu que os habitantes da Terra chamam de Equador ao maior desses círculos.  Observando o planeta Terra, ele também ficou fascinado quando percebeu que se três pessoas resolvessem caminhar indefinidamednte, uma através da linha do Equador, outra sobre o Trópico de Câncer e outra pelo Trópico de Capricórnio, elas jamais se encontrariam.  Neste momento, a idéia de retas paralelas que "Zil" possuia se ampliava.  Ele aprendeu que na superfície da Terra, há um conjunto infinito de círrculos, paralelos, que têm os "polos" Norte (N) e Sul (S), como centros.  "Zil" come ou a raciocionar e com a possibilidade que tinha em visualizar o imaginário, ele escolheu outros pontos como centro e pode ver outros conjuntos de círculos paralelos.  Brincando com a sua imaginação, ele começou a enxergar quadrados e triângulos, só que diferentes dos tradicionais que são feitos com régua.  Dessa forma, "Zil" percebeu que a geometria do planeta Terra é muito parecida com a geometria do planeta "Zilia" e um pouco diferente da geometria que estudou nos livros importados da Terra.

Conclusão:

A realização de um experimento interessante utilizando esferas de isopor e barbantes, possibitou a construção de modelos que representaram  a situações experimentadas na aventura de "Zil".  Dessa maneira, com as observações efetuadas e com as pesquisas realizadas, pudemos formular a conclusão que descrevemos.

Numa superfície plana, a reta é a menor distância que existe entre dois pontos.  Porém, se considerarmos que vivemos num espa o curvo, num planeta que não possui a forma plana, a menor distância entre dois pontos que são selecionados na superfície terrestre é um arco de circunferência.  Devemos entender que além da geometria tradicional, chamada de euclidiana, existe também a geometria não-euclidiana, que concebe as formas com mais dimensões do que as conhecidas por nossa percepçao, e para conter essas formas, os espa os são imaginados com infinitas dimensões.  Segundo Johan Karl Friedrich Gauss (1777-1855), que foi o primeiro matemático a formular idéias sobre a geometria não-euclidiana, o espa o não precisa ser necessariamente imaginado em linhas retas, pois se uma reta é  definida apenas pela sua extensão, nada a impede de ser curva.  Assim sendo, se uma superfície é definida pelas dimensões comprimento e largura, também poderia ser curva.  O mesmo raciocínio valeria para um espaço definido pelas dimensões comprimento, altura e largura.  A idéia de espaços curvos é desenvolvida pelo matemático russo Nikolai Lobacheviski (1792-1856) em 1826 e aperfeiçoada em 1854 pelo matemático alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), discípulo de Gauss, que também concebe espaços com quatro ou mais dimensões.

Considerações Finais

Os projetos propostos têm como fundamento a compreensão e o entendimento da realidade e do grupo cultural nos quais os alunos estão inseridos.  Dessa maneira, os alunos podem pensar, refletir, analisar e agir sobre essa mesma realidade.  Ao emprestarmos da realidade os sistemas nela existentes, passamos a estudá-los simbolicamente e sistematicamente.  Neste contexto, emprega-se o programa etnomatemática, utilizando como instrumentos a modelagem matemática e os seus modelos.  Dessa forma, pode-se atingir o mundo real com a utilização do mundo imaginário, empregando-se conceitos do mundo matemático para a solução de problemas abstratos.  Compreende-se que a utilização do programa etnomatemática fornece as ferramentas necessárias para que os grupos culturais possam captar as mensagens que são transmitidas pelo mundo real.  Assim, modelando os sistemas que são extraídos da realidade, desperta-se nos alunos a vontade de compreender as relações existentes entre a natureza, a cultura e a intervenção humana sobre esses sistemas.  Dessa maneira, a partir desta reflexão, os alunos conseguem perceber a realidade em sua totalidade.

O programa etnomatemática também possui um caráter interdisciplinar.  Assim, este programa exige a participação de professores de diferentes áreas do conhecimento para o encaminhamento dos projetos e orientação dos alunos.  É de fundamental importância para o sucesso do programa e o desenvolvimento intelectual dos alunos que esta participação ocorra de modo efetivo.  Dessa forma, esse aspecto procura garantir o interesse dos alunos pela iniciação científica na área matemática, pois a partir do envolvimento na pesquisa de temas variados, incentiva-se a evolução da investigação e da aprendizagem em matemática.

Espera-se que durante este processo, educandos e professores adquiram e desenvolvam de maneira semelhante o senso crítico, isto é, uma forma de cidadania baseada no entendimento e na igualdade. Este processo de pesquisa é formulado para dar aos pesquisadores experiências em tornarem-se cidadãos e profissionais críticos. Este aspecto do aprendizado é muito imporante pois contribui para acelerar o processo de transformação social. Este processo é também de vital importância na resolução de problemas e desafios que estão presentes em nossas comunidades.

A falta de uma consciência crítica na educação escolar tem criado uma distinta dissociação para os alunos entre os que eles estão aprendendo nas salas de aula e o que eles observam no mundo real. Os alunos, muitas vezes passivos, solucionam problemas que não fazem parte da vida pessoal, da realidade ou da sociedade em que estão inseridos. Rapidamente e facilmente eles perdem a habilidade em prestar atenção e participar dos desafios que estão acontecendo na comunidade.Em outras palavras, as atividades matemáticas estão em perigo se não tiverem uma mínima utilidade real para os alunos. O que este modelo pode facilmente realizar é engajar os alunos a verem o valor e a utilidade do que eles aprenderam em matemática pelo desenvolvimento de uma posição crítica que suporte diferentes propostas na resolução Este processo afirma que historicamente os métodos de se fazer matemática, de resolver problemas, foi oferecido por muito tempo pela cultura dominante. Também afirma que aprender a valorizar diversas e alternativas maneiras de resolver problemas é uma das mais altas formas do desenvolvimento intelectual para todos os indivíduos.

 

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