Existem processos que estão relacionados com o fato do ser humano viver em sociedades, em grupos e em culturas. Com relação ao processo cultural, podemos pensar na questão dos "problemas motivadores" no ensino da matemática e em suas aplicações no aspecto sociológico. Cada sociedade gera e busca satisfazer suas próprias necessidades intelectuais e suas necessidades materiais. Estes dois aspectos, o material e o intelectual, não podem ser separados, se não queremos deixar de entender o sentido do conhecimento matemático produzido por uma sociedade. A sociedade atual tem certas necessidades tecnológicas que ela mesma gerou. Para atender a estas necessidades, diversas ciências intervêm, buscando resolver os desafios que surgem. Para construir os altos edifícios presentes em nosso meio- urbano, não basta somente a "habilidade" e a "experiência". Estes dois fatores podem bastar para construir casas até um certo tamanho, mas não para construir arranha-céus. Na construção de arranha-céus, a Matemática intervém, fornecendo os instrumentos teóricos para que se determine a estrutura do arranha-céu e como ela deve ser construída. Este é um exemplo real da aplicação da matemática.
Não devemos nos esquecer que as naves espaciais são uma necessidade que a sociedade moderna gerou, na medida em que gradualmente passa a considerar que milhares e até mesmo milhões de pessoas vivam em áreas reduzidas como as de uma cidade. Esta noção, a de viver em enormes grupos, é totalmente estranha para diversas culturas, entre elas a dos índios, nativos originais das terras do continente americano.
Apesar de sermos 6 bilhões de pessoas sobre o planeta Terra atualmente, ainda há espaço suficiente para vivermos em grupos menores. Porém, muitas pessoas pensam que não conseguem viver numa cidade de pequeno porte, porque as opções de lazer e de trabalho não são tão significativas como nas cidades de grande porte. Assim, podemos concluir que questão não é a falta de espaço, mas sim o que a nossa cultura valoriza e exige de todos nós.
Dessa maneira, todas as culturas valorizam-se de ferramentas matemáticas para resolver problemas. Se os professores e alunos não valorizam os processos de Etnomatemática e Modelagem Matemática, fica difícil, e às vezes torna-se até mesmo impossível, convencê-los de que a utilidade da matemática para resolver certo tipo de problema deveria motivá-los para ensinar e aprender Matemática. Se o professor não considerar importante, não vai se preocupar em ensinar e se o aluno não considerar importante, não vai se preocupar em aprender. Talvez o professor ensine porque está no currículo e talvez o aluno aprenda para fazer a avaliação e depois esquece. Podemos afirmar que o conhecimento que não se encaixa com determinada cultura tende a extinguir-se porque torna-se frágil em sua aplicação.
Neste contexto, a educação matemática assume uma dimensão importante, pois o método de educar matematicamente passa a ser um processo de interação entre culturas, entre modos de pensar e de organizar o mundo.
Para que o aluno valorize os problemas motivadores, ou os problemas de aplicação retirados de sua realidade; como formas de aprender e valorizar a Matemática, é preciso que ele mergulhe em sua cultura onde estes fatores são valorizados. Porém, para que isto ocorra, é necessário que as escolas respeitem as concepções a respeito de mundo que os nossos alunos possuem.
Assim, nossos alunos compreenderão que a Matemática existe dentro de uma cultura e por meio dela nós agimos sobre a nossa realidade, com o intuito de mudá-la ou preservá-la. Mas, existem outras realidades, outras culturas e outras matemáticas. Existe a matemática do carpinteiro, do médico, do pedreiro, do engenheiro; assim como existe a matemática da criança que vende bala na rua, a matemática da criança que constrói o seu cata-vento e a matemática da criança que joga vídeo-games. Em nossa sociedade globalizada, estas culturas estão se integrando e se interagindo dinamicamente. Nessa dinâmica cultural, o conhecimento é produzido e o conhecimento matemático também é parte deste processo de ação sobre essa realidade intelectual e material.
Quando Machado (1994) aborda a relação entre a matemática e a língua materna, ele está apontando para o fato de que o ser humano vive imerso numa cultura que tem vários aspectos de interação, pois observa-se que os elementos constituintes dos dois principais sistemas de representação da realidade, o alfabeto e os números são apreendidos conjuntamente pelas pessoas em geral, mesmo antes de chegarem às escola, sem distinções rígidas de fronteiras entre estas duas disciplinas.
Quando Kamii (1985) relata a importância de Pedro ajudar a arrumar a mesa de jantar, ela não está apenas comentando sobre a oportunidade que ele tem de "desenvolver o seu raciocínio", pois está também analisando o fato de que Pedro está aprendendo que o processo de fazer corresponder talheres "um para um" tem um lugar na cultura que ele vive, e isto dá legitimidade a seu esforço de pensar sobre a atividade que ele está realizando.
Quando D’Ambrosio (1988) discursa sobre um ciclo de interação passando por pensamento e realidade, ele está se expressando sobre a dialética entre pensar e agir. A idéia de ciclo sugere um processo que se repete e se transforma: uma cultura requer conhecimentos matemáticos, e os conhecimentos matemáticos transformam essa cultura. Podemos dar como exemplo as calculadoras. As máquinas de calcular somente são possíveis porque a matemática permite projetá-las, mas, ao mesmo tempo, elas mudam a nossa maneira de ver essa matemática, pois torna menos importante que se saiba fazer sem errar a conta 1007 dividido por 9...
Assim, a proposta de se trabalhar com atividades que tenham relação com o cotidiano dos alunos, buscam exatamente o ponto de contato entre todas as atividades que fazemos diariamente e uma maneira particular de se trabalhar com elas: utilizando a matemática através do Programa Etnomatemática e da metodologia Modelagem Matemática.
História da Matemática e suas implicações no ensino-aprendizagem em matemática
Existem várias maneiras de olharmos para a História da Matemática do ponto de vista da educação da matemática. Em primeiro lugar, quando pretendemos estudar a História da Matemática, estamos olhando para a Matemática de outros povos e de outras culturas. Neste contexto, é importante que olhemos para estas culturas com o objetivo de buscar satisfazer as suas próprias necessidades, e não como culturas que são" menos desenvolvidas" do que as culturas contemporâneas. Se adotarmos este ponto de vista, poderemos nos beneficiar de uma oportunidade única de ver como culturas diferentes da nossa pensavam, e como a matemática delas era diferente da nossa matemática, por causa do contexto histórico no qual estas culturas estavam inseridas.
Os gregos antigos eram grandes pensadores. No entanto, para Aristóteles e Platão, o número só podia ser número inteiro e maior que 1, 2, 3, 4 etc... Esta situação pode nos parecer estranha, mas só poderemos compreender as idéias que eles tinham se entendermos a maneira como eles conceituavam número e as razões por que o faziam dessa forma. Da mesma forma, precisamos entender a cultura matemática de nossos alunos, isto é, porque eles pensam de uma determinada maneira, se quisermos compreender porque às vezes eles têm dificuldade para assimilar certos conceitos que gostaríamos que eles aprendessem.
O estudo da História da Matemática nos oferece uma oportunidade única de entender a existência de diferentes culturas matemáticas e, portanto, nos oferece a chance de apreciar melhor os aspectos sociológicos da educação matemática, tão importantes no dia-a-dia da sala de aula. Assim, se quisermos motivar os nossos alunos, poderemos apresentar problemas matemáticos interessantes, ou então encontrar uma forma de encadear tópicos do conteúdo a ser trabalhado com episódios da História da Matemática. Como por exemplo, o problema de medir a distância da Terra à Lua ( um problema enfrentado pelos antigos astrônomos e resolvido utilizando semelhança de triângulos) ou o problema de saber onde vai cair um objeto obliquamente lançado para o alto.
A atividade de trabalhar com problemas tirados dos relatos da História da Matemática faz com que os alunos possam buscar problemas relevantes em seu cotidiano, o que inclui a família, o bairro, os amigos, e talvez, a cidade, o Estado e o país, pois ao resolver problemas de seu cotidiano, os alunos vão compreender-se como membros de uma cultura; assim como os personagens de outras culturas fizeram para solucionar os problemas que lhes eram apresentados.
Partindo do pressuposto de que todos os seres humanos vivem em culturas e que as matemáticas são produtos destas culturas, e estão intimamente ligadas aos aspectos mais gerais das mesmas, para entendermos a matemática de uma pessoa, precisamos entender, na verdade a sua cultura matemática. A matemática de uma determinada cultura é usada para agir sobre esta realidade, através da resolução de problemas e do reforço das formas do pensamento, buscando dessa forma o embasamento cultural. Assim, a Matemática é dialética, pois é uma ferramenta cultural como também um produto cultural.
O estudo da História da Matemática pode propiciar, tanto a professores quanto a alunos, um entendimento mais claro dos aspectos sociológicos da educação matemática, além de propiciar um entendimento correto da matemática como um produto cultural, um corpo dinâmico do conhecimento e não como uma coleção estática de regras e métodos desvinculados do contexto sócio-cultural.
Integração de temas no ensino da matemática.
A História da Matemática, através de seus relatos históricos, pode nos fornecer elementos para que possamos promover uma integração de temas no ensino da matemática, interdisciplinando a matemática com a própria matemática. Assim, podemos comparar a resolução algébrica para a solução de problemas geométricos, como faziam os babilônios; com os métodos geométrico para resolver de forma aproximada as equações algébricas, como faziam os matemáticos árabes da Idade Média. Outro exemplo é a utilização da geometria analítica, na qual temos a integração de dois conteúdos matemáticos: a álgebra e a geometria, e também temos a integração de dois modos matemáticos de pensamento: o algébrico e o geométrico.
A integração de temas tem pelo menos dois aspectos essenciais:
a) Caráter Técnico: pela integração de temas podemos oferecer aos alunos uma oportunidade mais ampla de entender os conceitos da Matemática.
Exemplo: Ao trabalharmos com trigonometria, é possível darmos um tratamento somente de aspecto geométrico ou um tratamento realizado somente a partir de funções. Porém, é melhor que os dois aspectos sejam trabalhados simultaneamente, pois desta forma os alunos têm uma compreensão mais ampla do assunto e, em caso de dificuldade em empregar um dos tratamentos, pode recorrer ao outro, para conseguir uma melhor compreensão do objeto do estudo.
b) Caráter Geral: a matemática é uma coleção de regras e métodos que foram sendo construídos através de uma dinâmica cultural: vários conceitos foram sendo fundidos, reformulados e construídos simultanemente. Assim, não é possível entendermos a geometria grega senão por oposição à aritmética grega. O conceito de função algumas vezes foi entendido algebricamente e outras vezes em termos de pares ordenados, isto é, estes dois aspectos explicam através de pontos de vista diferentes, o conceito de função.
A Matemática é um corpo dinâmico e um sistema de conhecimentos, e nesse aspecto deve ser trabalhada com a integração de temas.
Em nossa perspectiva, uma boa forma de promover a integração de temas é a seguinte:
Os alunos são divididos em grupos e vão trabalhar com um problema. Em vez de partirmos da idéia de exercício, no qual espera-se que os alunos apliquem a teoria que foi dada em aula, vamos dar a liberdade para que eles resolvam o problema como quiserem. Dessa forma, diferentes soluções vão aparecer, possivelmente alguém vai usar um método geométrico, um método algébrico, um método gráfico ou um método numérico, e assim por diante. De posse de todo esse material, podemos trabalhar com os alunos as diferenças entre os métodos, as limitações e as virtudes de cada método, e também podemos trabalhar com o fato de que é possível que dois métodos diferentes forneçam aspectos diferentes sobre o conceito com qual os alunos estão trabalhando.
Trabalhar dessa forma apresenta várias vantagens:
a) O problema pode ser formulado pelos alunos a partir de situações reais de suas experiências.
b) Em vez de ensinar separadamente e depois tentar integrar os conteúdos, a integração acontece diretamente no processo de aprender, uma vez que uns vão estar aprendendo o método dos outros, ao mesmo tempo em que discutem todas as soluções apresentadas.
c) Esta é uma dinâmica extremamente agradável em sala de aula, na qual os alunos podem debater e participar ativamente.
Com a integração de temas, os alunos ampliam a visão que possuem d matemática e vão passar a percebê-la como um corpo dinâmico de conhecimentos e como um recurso didático importante que lhes oferecerá oportunidade para melhor entender, produzir e aplicar os conhecimentos matemáticos.
Dessa forma, se a História da Matemática for entendida como o processo de criação da matemática, ela pode nos oferecer muitas idéias a respeito da integração de temas na educação matemática.
A utilização de Material Concreto ou Material Manipulativo
O uso de material concreto ou manipulativo em sala de aula pode ser entendido de diversas maneiras.
Se estivermos trabalhando, por exemplo, com crianças pequenas, a teoria piagetiana do desenvolvimento intelectual diz que devemos trabalhar no "concreto", pois, segundo o ponto de vista pedagógico nesta teoria, a criança até uma certa idade, por volta dos 13 ou 14 anos, não é capaz de "pensar" sobre coisas que não sejam representações mentais de objetos "concretos" com os quais ela teve contato em suas experiências. Por este motivo, é de fundamental importância oferecer às crianças uma variedade de materiais concretos ou manipulativos. Existem, portanto, outras maneiras de se interpretar a importância do uso de material concreto ou manipulativo. Utilizando como exemplo a teoria piagetiana, se estivermos trabalhando com adolescentes, pode parecer que os objetos "concretos" não sejam tão importantes. Porém, sabemos que na prática este tipo de material é de grande importância no ensino-aprendizagem. Nossos alunos deve se utilizar destes materiais, pois, muitas vezes, os matemáticos, cientistas e pesquisadores também se utilizam de objetos de papelão, botões, tabuleiros e até mesmo trabalham com imagens computadorizadas, para que consigam entender o objeto de estudo. Segundo o psicólogo Bruner (1974), o primeiro passo quando estamos tentando entender um objeto é ver como este objeto funciona. Para isto ocorra, utilizamos os recursos concretos e os materiais manipulativos, para que possamos realizar as experimentações no concreto. Dessa forma, vamos criando imagens mais claras dos objetos com que estamos trabalhando, e aos invés de trabalharmos somente com o concreto, começamos a elaborar representações escritas sobre o objeto e passamos a pensar principalmente através dessas representações, como se elas fossem os próprios objetos. Esta seria a fase do icônico neste processo. O passo final dá-se quando passamos a operar apenas com as representações e com as regras para manipular estas representações, ao abandonarmos os limites e as sugestões do concreto. Esta seria a fase do simbólico. Esta interpretação não se aplica apenas às crianças, pois todos nós procedemos dessa forma de um modo ou de outro. Pode acontecer, também, que nos satisfaçamos somente em trabalhar apenas o icônico , ou mesmo, apenas o concreto.
As condições que determinam este tipo de trabalho são sociais ( a escola ou as formas de conhecimento que uma cultura privilegia), ou nosso interesse mais imediato ( se estamos trabalhando para resolver um problema, paramos na fase que nos permita resolver o problema, seja ela a fase concreta, icônica ou simbólica).
O que a teoria piagetiana diz, no entanto, é que além destes fatores, há fatores biológicos, isto é, ligados ao amadurecimento biológico da criança, que limitam a possibilidade de passagem de uma determinada fase; é neste sentido que, para a teoria piagetiana, a criança pequena não é capaz de passar para a fase icônica ao trabalhar com uma determinada situação. Assim, não é uma tarefa fácil decidir qual teoria a seguir, pois, é apenas estudando e refletindo sobre a nossa experiência em sala de aula que estas decisões podem ser tomadas.
Há outros pontos muito importantes na utilização de materiais concretos ou manipulativos, e que não passam pelos aspectos psicológicos do ensino-aprendizagem.
Dessa maneira, quando falamos de "concreto", podemos estar nos referindo a uma situação-problema real, isto é, um problema cuja solução nos permite uma ação em nossa realidade, como é o caso de projetar um viaduto que não vai cair. Nesta situação, a importância do "concreto" está muito mais nos aspectos sociológicos que nos aspectos psicológicos da educação matemática. Muito se discute sobre a importância e a necessidade de se entender a matemática como um produto cultural e, é nesta perspectiva que podemos entender o uso de problemas reais e concretos.
Alguns educadores matemáticos dizem que o concreto somente deveria ser aplicado aos materiais manipuláveis. Porém, esta visão não fornece a dimensão exata sobre a amplitude da noção de concreto. Se por um lado, a idéia de manipulável corresponde à idéia de concreto, quando mencionamos a matemática pura e aplicada, estamos na realidade, fazendo referência a matemática aplicada a problemas concretos.
Dessa maneira, a noção de concreto se opõe mais corretamente à noção de abstrato. Nesse sentido, podemos entender o concreto como significando uma contextualização: quando trabalhamos com material manipulável, estamos trabalhando no contexto do que é possível fazer com aquele material, isto é, existe um contexto que os ajuda a entender o processo de manipular ou utilizar aquele material. É deste ponto de vista que o problema de construir um viaduto é concreto: as forças que vão agir sobre o viaduto, não são meros números escritos num diagrama, mas são pesos reais, que inclui o peso do material com que o viaduto vai ser construído, e a própria construção do viaduto que vai ser vista como uma ação que vai modificar uma realidade. Utilizar a matemática para resolver o problema do viaduto é apenas uma entre outras tantas possibilidades, se bem que uma possibilidade muito útil, especialmente no caso de construção de grandes viadutos. Portanto, concreto pode referir-se à manipulável, mas também pode referir-se à contextualizado e ambos os aspectos são importantes na educação matemática.
A utilização de jogos
O mundo de toda a criança é uma realidade de jogos. Desde os primeiros anos de vida, as crianças brincam, jogam e desempenham atividades lúdicas. O jogo sempre fez parte do mundo infantil e adulto, sendo portanto, um dos elementos motivadores fundamentais para despertar o interesse das crianças, adolescentes e adultos, para o ensino-aprendizagem em matemática. De posse desses conhecimentos, é tarefa do professor, explorar e adaptar situações do cotidiano dos educandos às situações escolares. Porém, para que isto aconteça, é de suma importância que os professores dominem as idéias, os conceitos e os processos que deseja ensinar, para que os alunos possam ajudar a construir o seu próprio conhecimento matemático. Muito mais do que isso, os professores devem ter consciência de que os jogos e as atividades que propuser são os meios que dispõe para atingir os seus propósitos e objetivos. Dessa forma, a utilização de jogos na educação matemática também pode ser entendida por pontos de vista diferentes. Uma forma de se entender o uso de jogos é através do aspecto lúdico, que desenvolve o desejo e o interesse do jogador pela própria ação do jogo e mantém o envolvimento na competição e no desafio, motivando o jogador a conhecer os seus limites e as suas possibilidades de superação destes limites, na busca pela vitória, adquirindo confiança e coragem para arriscar. Esse aspecto pode ser bem entendido com a seguinte comparação: compare o envolvimento de um aluno que tem que resolver 20 exercícios de multiplicação de números inteiros positivos e negativos, com o envolvimento de um aluno que, jogando um jogo no computador, tem que resolver corretamente 50 questões do mesmo tipo para que possa vencer o computador. Certamente, o aluno que está jogando contra o computador está muito mais motivado para realizar a tarefa. É claro, que o jogo não precisa ser no computador; pode ser um jogo de tabuleiro ou de outro tipo qualquer. A idéia primordial é que o aluno estaria realizando o seu trabalho, ou seja, as questões de multiplicação, no contexto de uma atividade que também o está divertindo, e portanto, este aluno não ficaria entediado e desmotivado.
Uma outra forma de se entender o uso de jogos, é a possibilidade de fazer o aluno entrar em um mundo onde as coisas funcionam de maneiras bastante parecidas com os conteúdos que estamos pretendendo ensinar em matemática. Por exemplo, se estamos querendo ensinar ao alunos a somar e a subtrair com números inteiros positivos e negativos, poderíamos utilizar um jogo do tipo "Banco Imobiliário", que envolve dinheiro e dívidas, e no processo de jogar o jogo, os alunos vão desenvolvendo certas estratégias, que podem servir de base para uma futura formalização. Porém, essa formalização nem sempre acontece de uma maneira simples, pois os jogos geralmente são construídos sem levar em consideração o elo existente entre o funcionamento destas duas situações de contexto muito diferentes. Porém, quando utilizamos a notação usual para os números inteiros positivos e negativos, é possível que esta situação não seja mais interpretada como o jogo banco imobiliário e, dessa maneira, o conhecimento que o aluno havia construído enquanto jogava, pode não ser aplicado. Uma situação semelhante acontece quando vemos crianças que vendem doces na rua e que são capazes de fazer todas as contas rapidamente e de cabeça e, quando chegam na escola, possuem enormes dificuldades para resolver os exercícios de subtração que lhes são apresentados.
Existem outras maneiras de utilização dos jogos como estratégia do ensino-aprendizagem em matemática em sala de aula:
Matemática Recreativa
Compreender, aprender e fazer matemática exige muito mais do que a aprendizagem de algoritmos e sua possível aplicação na resolução de uma situação-problema. Dessa forma, uma proposta para o ensino-aprendizagem da matemática deve possibilitar a construção de conceitos através de situações significativas. Assim, devemos elaborar atividades que destaquem as idéias e as representações matemáticas que estão presentes em outras fontes, além dos livros didáticos, dos textos informativos, das tabelas e dos gráficos.
Entendemos que a elaboração do conhecimento se dá na interação dos conceitos matemáticos com os não matemáticos e dos conceitos do cotidiano com os científicos, e, dessa maneira, a matemática escolar vai adquirindo significado. Dessa forma, o trabalho com os conteúdos deve ser desenvolvido privilegiando o contato dos alunos com diferentes textos, escolares ou não e também, com outras atividades que fazem parte de seu cotidiano. Neste contexto, estaremos colaborando com o desenvolvimento de habilidades criativas, que são elementos indispensáveis para que as crianças possam superar os problemas e os desafios que são gerados pelo seu ambiente físico e social.
Para que isto ocorra, é extremamente importante a criatividade do professor de matemática. Porém, os professores de matemática geralmente possuem uma acentuada tendência para o algebrismo árido e enfadonho quando abordam em suas aulas somente questões algébricas que exigem cálculos numéricos trabalhosos e demonstrações complicadas. Assim, um grande número de educadores matemáticos não se preocupam em dar a matemática um tratamento elementar e intuitivo e não se utilizam de problemas práticos, interessantes e simples e nem da matemática experimental, para atingir estes objetivos.
Os professores devem ter consciência de que a matemática é um meio através do qual os alunos são levados a adquirir um estágio de compreensão, consciência e raciocínio, para que possam refletir e atuar sobre a realidade.
O objetivo do ensino é o homem; o objetivo da matemática é o homem e sua realização, sua integração com o universo que o rodeia, a tentativa da descoberta da razão de sua existência (Zaro; Hillebrand, 1990).
Infelizmente, a matemática está perdendo o seu lado filosófico. Assim sendo, nos parece fundamental que o professor retire os alunos de sala de aula e os levem para observar o mundo que os cercam, o seu dia-a-dia; e comece a relacionar os conhecimentos matemáticos a esses acontecimentos. Este relacionamento pode se dar através de experimentos escolhidos sobre as observações efetuadas e que estejam de acordo com os conteúdos que devem ser abordados e desenvolvidos.
Consideramos como recreativa, a matemática que aborde os desafios, tais como quadrados mágicos, quebra-cabeças, adivinhações, problemas aparentemente contraditórios ou misteriosos, pois são sempre situações motivadoras para o seu ensino-aprendizagem. Podemos considerar também que as curiosidades presentes em episódios da História da Matemática; a literatura infanto-juvenil, que contam lendas e fábulas, com vistas ao relacionamento do cotidiano dos alunos com os conteúdos matemáticos através da proposição de atividades de leitura; podem constituir fontes de motivação, que buscam o interesse dos alunos na construção e manutenção de seu conhecimento matemático.
Podemos considerar também como recreativos, os
experimentos matemáticos através dos quais os alunos têm
a possibilidade de manusear o objeto de estudo (material), de "construírem"
os seus experimentos, de serem levados a formular explicações
e tirarem conclusões, fatos esses, que certamente contribuirão
para uma formação mais interessante, tanto no aspecto científico
como no aspecto humano. Dessa maneira, os estudantes têm o prazer
da descoberta, fato que os tornarão intectualmente autônomos,
capacitando-os a continuar o seu auto-aperfeiçoamento e habilitando-os
a resolverem situações-problema que enfrentarão em
seus cotidianos, dentro e fora da escola.
Referências bibliográficas
FREIRE, Paulo. Pedagogia do Oprimido. São Paulo: Editora Paz e Terra S/A 1970. 19 edição.
KAMII, Constance; DECLARK, Georgia. Young Children Reinvent Arithmetic. Teachers College Press. 1985.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre a educação (e) matemática. São Paulo. Summus Editorial, 1988.
CARRAHER, T.N., CARRAHER, D.N., SCHLIEMANN, A D. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1989.
DIENES, Z.P. Aprendizado Moderno da Matemática. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1974.
BRUNER, Jerome S. O Processo da educação. Trad. Lobo L. de Oliveira. São Paulo: Nacional, 1974.
BRUNER, Jerome S. Uma nova teoria de aprendizagem. Rio de Janeiro: Editora Bloch, 1976.
DIENES, Z.P. As seis etapas do processo de aprendizagem em matemática. São Paulo: Herder, 1972.
D’AGOSTINE, Charles H. Métodos Modernos para o ensino da matemática. Trad. Maria Lúcia F. E. Peres. Rio de Janeiro: Ao livro Técnico, 1984.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Brás Monteiro, 1975.
CASTELNUOVO, Emma. Didática de la matemática moderna. Trad. Felipe Robledo Vázques. México, 1973.
MACHADO, Nilson José. Matemática e Língua Materna: Análise de uma impregnação mútua. São Paulo: Cortez Editora, 1990.
NIDELCOFF, MARIA Teresa. A Escola e a Compreensão da Realidade: Ensaio sobre a Metodologia das Ciências Naturais. Trad. Marina C. Celidônio. São Paulo: editora brasiliense, 1990.
D’Ambrosio, Ubiratan. Etnomatemática se ensina? BOLEMA: Boletim de Educação Matemática. Ano 3. N. 4. Rio Claro S.P., 1988. P. 13 — 16.
D’Ambrosio, Beatriz S. Como ensinar matemática hoje? TEMAS E DEBATES. SBEM. Ano II. N2. Brasilia. 1989. P. 15-19.
ZARO, Milton; HILLEBRAND, Vicente. Matemática Experimental. São Paulo: Ed. Ática. 1990.
SOUZA, Júlio Cesar Mello (Malba Tahan). Matemática divertida e curiosa. Rio de Janeiro. Distribuidora Record de Serviços de Imprensa S/A. 1991.