A Matemática na Fachada do Colégio Arquidiocesano, Localizado na Rua Alvarenga

 

Milton Rosa, Geraldo Cesar de Figueiredo, Daniel Clark Orey

 

 

 

 

 

 A Ciclóide é a trajetória que um ponto fixo de um círculo descreve a partir do rolamento (sem deslizar) do mesmo sobre uma dada reta.

 

Clic aqui para ver:A Ciclóide no Winplot

 

Considere um círculo de raio a rolando sobre o eixo x, assim temos que um ponto fixo deste círculo descreve uma ciclóide. Suponhamos que no instante ‘t = 0’ o ponto P do círculo coincida com o ponto O (origem do sistema de coordenadas xy). E, considerando a aplicação diferenciável α dada por  α(t) = (x(t), y(t)),cujo traço é uma ciclóide e analisando a figura abaixo (que esboça como se constrói a ciclóide); podemos obter a equação paramétrica de α.

 

Temos que:

i)

 Logo,

 

ii)

 Logo,

Portanto, de i) e ii), a equação procurada é dada por:

 

 

A parábola é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes a uma reta fixa r (denominada diretriz) e a um ponto fixo F (denominado foco). Assim, por exemplo, no caso particular em que F = (0,1) e r: y = -1; temos que:

Generalizando, se o foco F de uma parábola pertence ao eixo y e a diretriz r é paralela ao eixo x distando-se p unidades deste eixo, a parábola resultante é dada por:

E sua representação gráfica é:

Observação:   

Uma parábola com foco F e diretriz r é simétrica em relação à reta s (denominada eixo de simetria ou simplesmente eixo a parábola), que passa por F e é perpendicular a reta r.

O vértice da parábola é definido como sendo o ponto V onde a parábola intercepta o seu próprio eixo. Se F ' é a projeção ortogonal do foco de uma parábola sobre a sua diretriz, então o seu vértice é o ponto médio entre F e F '. (devido à própria definição de parábola, pois se V não fosse ponto médio do segmento FF’, então V não pertenceria à parábola).

Uma parábola pode ter concavidade para cima, para baixo, para a direita, ou para a esquerda. Estas situações são ilustradas graficamente a seguir, onde o vértice está na origem do sistema de coordenadas e a distância do vértice ao foco é p. As equações correspondentes podem ser determinadas considerando-se as simetrias envolvidas:

 

 

A Catenária é a curva descrita por uma corda suspensa pelos seus extremos e que se encontra submetida a um campo gravitacional uniforme. A palavra deriva do latim catenarius, propio de la cadena.

Em Matemática se denomina catenária aquela curva descrita por uma corda ideal (perfeitamente flexível, com massa desprezível), suspensa pelos seus extremos e submetida apenas a ação de um campo gravitacional uniforme.

Os primeiros matemáticos que abordaram este problema supuseram que a curva era uma parábola. Huygens, aos 17 anos, demonstrou a não veracidade desta suposição, contudo não encontrou a equação desta curva. Esta equação foi obtida por Leibniz, Huygens e Johann Bernoulli em 1691, como resposta ao desafio proposto por Jakob Bernoulli. Huygens foi o primeiro a utilizar o termo catenária numa carta escrita para Leibniz em 1690.

A equação da catenária é dada por:

Agora, o desenvolvimento em série de Taylor da função   nos fornece;

que corresponde a equação de una parábola acrescida de um termo de quarta ordem.. Por este motivo que os gráficos são bem similares em torno do zero.

A seguir temos algumas curvas catenárias representadas em um único sistema de coordenadas cartesianas;

 

 

 

Um pouco sobre as funções hiperbólicas

As funções hiperbólicas são: seno, co-seno, secante, cossecante, tangente e cotangente hiperbólica. Estas funções têm grandes aplicações no estudo dos números complexos. Aqui faremos referência apenas às funções seno e co-seno hiperbólicos, onde as relações das funções com as exponenciais são dadas por:

  e  . Onde define-se;

Observação:

O número irracional vale aproximadamente 2.71828.

A função  é positiva (qualquer que seja o valor de x), enquanto que a função  é positiva para parâmetros reais positivos (i.é., x > 0) se anula para ‘ x = 0’ e, é negativa para parâmetros reais negativos (i.é, x < 0).

Graficamente temos:

Também, é fácil verificar que:

 

1. é uma função ímpar (i.é, ) e é uma função  par (i.é, ); qualquer que seja o valor de x.
2. e

3.. o par satisfaz a equação da hipérbole  (daí a denominação: funções hiperbólicas!).

 

Conclusão:

 

            Observando o desenho arquitetônico da fachada do referido colégio buscamos relacioná-lo a algumas curvas: primeiramente enunciamos a similaridade que parece existir entre os contornos e a ciclóide (isto quando a fachada é vista num todo); a seguir, analisando estes contornos separadamente, enunciamos que estes se assemelham a uma curva parabólica ou à catenária. Ressaltando que quando visualizamos tais contornos separadamente temos apenas um pequeno segmento da curva, daí a similaridade parece existir tanto a uma parábola quanto a uma catenária.  

 

 

 

 

 

Referências bibliográficas:

 

http://www.mat.uc.pt/~picado/geomdif/anima/cicloide.html

 

http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/precalculo/geo1.htm

 

http://www.ime.usp.br/~martha/mat2453-2002/catenaria/

 

http://pt.wikipedia.org/wiki/Caten%C3%A1ria